Математическая энциклопедия - классической небесной механики математические задачи

задачи, возникающие в астрономии в связи с изучением движения небесных тел в гравитационном поле. Классическими объектами, изучаемыми небесной механикой, являются планеты и спутники Солнечной системы. Движение звезд и звездных систем изучает звездная астрономия (см. Звездной астрономии математические задачи). Движение искусственных небесных тел исследует астродинамика. Так как расстояния между телами Солнечной системы велики по сравнению с размерами самих тел, то поступательное и вращательное движения можно изучать отдельно, причем при изучении поступательного движения все тела Солнечной системы можно рассматривать как материальные точки, взаимодействующие по закону тяготения Ньютона,так наз. задача Nтел. Идеализированной схемой этой задачи описывается большая часть задач классической небесной механики. Единственным универсальным методом получения решений этой задачи для произвольных начальных значений является численное интегрирование. Однако численное интегрирование не в состоянии выявить эволюцию системы на достаточно больших интервалах времени. Известны нек-рые частные классы решений, пригодные для любого момента времени, (напр., периодич. решения Эйлера и Лагранжа, см. [1]). Более полно изучены общие свойства трех тел задачи. В 1912 было найдено аналитич. решение этой задачи и координаты тел в виде рядов по степеням времени, сходящихся для любого момента. Однако эти ряды непригодны для практич. вычислений из-за их крайне медленной сходимости. Большая часть результатов, относящихся к задаче Nтел, получена с помощью методов теории возмущений для планетной проблемы, т. е. в случае, когда масса N-1 тел мала по сравнению с массой центрального тела. Если пренебречь возмущениями, то уравнения движения вырождаются в уравнения задачи двух тел и интегрируются в замкнутой форме. Движение планеты подчиняется при этом законам Кеплера. Для достаточно малых масс удается получить аналитич. родолжение нек-рых важных классов решений: периодических и квазипериодических. Показано, что наиболее общим видом движения является, квазипериодич. движение с несоизмеримыми частотами. Эти результаты позволяют приблизиться к решению проблемы устойчивости Солнечной системы под действием взаимных возмущений планет.

Наиболее полно исследована ограниченная: задача трех тел, в к-рой два тела конечной: массы движутся вокруг центра инерции по эллиптич. орбитам, а третье имеет пренебрежимо малую массу. Довольно полно исследована также задача Хилла, описывающая движение спутника, подвергающегося возмущениям со стороны весьма удаленного, но массивного тела. Ограниченная задача имеет важное значение для теории движения малых планет, задача Хилла для теории движения Луны.

Для построения теорий движения конкретных небесных тел разработаны эффективные вычислительные методы, основанные на разложении решения в ряд по степеням малого параметра. Эти методы могут быть. разбиты надве группы в зависимости от того, входит ли время только в аргументы тригонометрич. функций в выражениях для возмущений или эти выражения могут содержать время и в явном виде (так наз. вековые возмущения). Методы первой группы значительно сложнее и используются в тех случаях, когда необходимо получить решение на интервалах времени достаточно больших по сравнению с периодами невозмущенного движения (как, напр., в теории движения Луны). Для вычислительных методов небесной механики характерной чертой является необходимость выполнения большого объема вычислений.

Теория движений больших планет сводится к решению задачи Nтел при N=10, под к-рыми понимается Солнце и девять планет. Уравнения движения интегрируются приближенно с помощью разложений в ряды (аналитич. методы) или численным интегрированием. Идеальная теория движения больших планет должна удовлетворять следующим четырем условиям: 1) она. должна быть построена на основе единого математич. метода, 2) постоянные интегрирования должны быть, определены, исходя из согласованной системы астрономич. постоянных, 3) точность теории должна соответствовать требованиям современных космич. экспериментов, 4) теория должна быть пригодной на длительные промежутки времени. Существующая к 70-м гг..

20 в. (и лежащая в основе всех астрономич. эфемерид) теория не удовлетворяет указанным выше требованиям. Она была создана разными авторами, различными методами и в разное время. Создание теории, удовлетворяющей современным требованиям, немыслимо без широкого использования ЭВМ и совершенных наблюдений. Теория движения спутников во многом аналогична теории движения больших планет, однако особенностью этой задачи является то обстоятельство, что масса планеты, относительно к-рой вращается спутник, значительно меньше массы Солица, притяжение к-рого существенно возмущает движение спутников. Для близких спутников необходимо также учитывать несферичность центрального тела. В связи с этим важное значение приобретает задача двух неподвижных центров, поскольку потенциал несферической планеты может быть довольно точно аппроксимирован потенциалом двух соответствующим образом подобранных точечных масс. Лит.:.[1] Дубошин Г. Н., Небесная механика, 2 изд., М., 1968; [2] Справочное руководство по небесной механике и астродинамике, М., 1971.

Г. А. Чеботарев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985