Математическая энциклопедия - кубическая гиперповерхность

проективное алгебраич. многообразие, задаваемое однородным уравнением 3-й степени с коэффициентами из нек-рого основного поля k.

Кубические кривые. Неприводимая кубич. кривая является либо гладкой (в этом случае ее канонич. класс равен 0, а род 1), либо имеет одну особую двойную точку (в этом случае она рациональна). Кубич. кривые кривые наименьшей степени, для к-рых существуют модули. Каждая гладкая кубич. кривая Xнад алгебраически замкнутым полем k, характеристика к-рого отлична от 2 и 3, бирациональными преобразованиями может быть приведена к вейерштрассовой форме, в неоднородных координатах плоскости ( х, у).имеющей вид

где

Две кубич. кривые с коэффициентами в вейерштрассовой форме изоморфны тогда и только тогда, когда

Функция

принимает любые значения из kи зависит только от кривой X, она наз. абсолютным инвариантом кубич. кривой X.

На множестве точек X(k).кубич. кривой определен бинарный закон композиции где x1*х 2 - третья точка пересечения кривой X с прямой, проходящей через точки Если фиксировать нек-рую точку то композиция

превращает множество X(k).в абелеву группу с нулем х 0. Кубич. кривая, снабженная этой структурой, является одномерным абелевым многообразием (эллиптич. кривой).

В случае, когда поле комплексных чисел, Х(С) есть риманова поверхность рода 1, т. е. одномерный комплексный тор факторгруппа где Г(Х) - двумерная решетка периодов. Поле kрациональных функций кривой Xв этом случае изоморфно полю эллиптич. функций на С с решеткой периодов Г(Х). Коэффициенты g2 и g3 интерпретируются как модулярные формы весов 4 и 6 соответственно, совпадающие с точностью до постоянного множителя с формами, определяемыми рядами Эйзенштейна наименьших весов. Функция jв этом случае есть не что иное, как модулярный инвариант.

Для кубич. кривых над алгебраически незамкнутым полем kтакже развита содержательная арифметич. теория (см. [2]). Существенную часть ее достижений составляют теорема Морделла Вейля, теория комплексного умножения и когомологическая теория главных однородных пространств. Основные нерешенные (1982) проблемы этой теории: проблема ограниченности ранга над полем алгебраич. чисел, гипотеза конечности для группы главных однородных локально тривиальных пространств, гипотеза Берча и Суиннертон-Дайера о дзета-функции, гипотеза Вейля об униформизации и др.

Кубические поверхности. Над алгебраически замкнутым полем kкаждая неприводимая кубич. поверхность (если она не вырождается в конус) является рациональной поверхностью. Класс гиперплоского сечения hповерхности Fсовпадает с каноническим классом (- К F}. Любая гладкая кубич. поверхность получается из проективной плоскости Р ² раздутием (т. е. моноидальным преобразованием) 6 точек, никакие 3 из к-рых не лежат на одной прямой, а все 6 не лежат на одной конике. Соответствующее бирациональное отображение задается линейной системой кубич. кривых, проходящих через эти 6 точек. На Fлежат 27 прямых, каждая из к-рых является исключительной (см. Исключительное подмногообразие). Ими исчерпываются все исключительные кривые на F. Конфигурация 27 прямых богата симметриями: группа автоморфизмов соответствующего графа изоморфна группе Вейля Е 6. Кубич. поверхности принадлежат к серии поверхностей дель Пеццо проективных поверхностей с обильным обратным канонич. классом.

Над алгебраически незамкнутым полем kимеются гладкие кубич. поверхности F, для к-рых не существует (бирационального изоморфизма с Р ² над k(т. е. F не рационален над k). Среди них есть поверхности, обладающие k-точками, в этом случае они унирациональны над k. Такие кубич. поверхности являются контрпримером для Люрота проблемы, о поверхностях над незамкнутыми полями. Над нек-рыми k существуют минимальные кубич. поверхности. Критерий минимальности Сегре [6]: Вычислена группа бирациональных автоморфизмов минимальной кубич. поверхности (найдены ее образующие и определяющие соотношения) и развита арифметич. теория кубич. поверхностей [4]. Для описания множества точек F(k).привлечены неассоциативные структуры: квазигруппы и лупы Муфанг.

Кубические гиперповерхности размерности 3. Все гладкие К. г. размерности над алгебраически замкнутым полем унирациональны. В 80-е гг. 19 в. был поставлен вопрос: будет ли гладкая трехмерная К. г. рациональна? На него получен отрицательный ответ [3]. Тем самым дано и отрицательное решение проблемы Люрота для трехмерных многообразий. С каждой гладкой К. г. Vразмерности 3 связано главное поляризованное пятимерное абе.