Математическая энциклопедия - мальцева алгебра

м у ф а н г л и е в а алгебра,линейная алгебра над полем, удовлетворяющая тождествам

где якобиан элементов х, у, z.M. а. представляют собой естественное обобщение алгебр Ли. Любая М. а. является бинарно лиевой алгеброй.

М. а. были введены А. И. Мальцевым [1] и названы им муфанг-лиевыми алгебрами ввиду их связи с аналитич. лупами Муфанг. Касательная алгебра локальной аналитич. лупы Муфанг является М. а. Верно также и обратное: любая конечномерная М. а. над полным нормированным полем характеристики 0 является касательной алгеброй нек-рой локальной аналитич. лупы Муфанг.

Имеется тесная связь между М. а. и альтернативными алгебрами (см. Альтернативные кольца и алгебры). Коммутаторная алгебра произвольной альтернативной алгебры, т. е. алгебра, получаемая заменой основного умножения на операцию коммутирования

является М. а.

Всякая простая М. а. характеристики либо лиева, либо есть 7-мерная алгебра над своим центроидом. Всякая первичная М. а. (при ) либо лиева, либо вкладывается в качестве подкольца в подходящую 7-мерную простую алгебру над нек-рым полем. Произвольная полупервичная М. а. (при ) изоморфно вкладывается в качестве подалгебры в коммутаторную алгебру нек-рой альтернативной алгебры. Вопрос о вложении произвольной М. а. в коммутаторную алгебру альтернативой алгебры открыт (1982).

Пусть Z(А) - лиев центр М. а. А:

Для любого идеала I произвольной полупервичной М. а. А(при )

Свойства алгебраич. М. а. аналогичны свойствам алгебраич. алгебр Ли. В произвольной алгебраич. М. а. (при ) существует локально конечный радикал, т. е. максимальный локально конечный идеал, факторалгебра по к-рому не содержит локально конечных идеалов. М. а. характеристики или р=0, удовлетворяющие n-му условию Энгеля (см. Энгелева алгебра), локально нильпотентны. Различие между М. а. и алгебрами Ли проявляется при переходе от локальной нильпотентности к глобальной. Имеется пример М. а. (р=0), удовлетворяющей 3-му условию Энгеля, разрешимой индекса 2, но не нильпотентной.

Для М. а. имеется аналог теоремы Энгеля, играющей большую роль в структурной теории алгебр Ли: М. а., удовлетворяющая условию Энгеля и условию максимальности для подалгебр, нильпотентна. Этот результат справедлив даже в более общем случае для бинарно лиевых алгебр.

Во всякой свободной М. а. (при ) имеется ненулевой лиев центр. Свободная М. а. (при ) с тремя и более образующими не является первичной алгеброй. Свободная М. а. (при р=0) с девятью и более образующими содержит тривиальные идеалы.

Если Rn - многообразие М. а., порожденное свободной М. а. от побразующих и р=0, то цепочка многообразий

не стабилизируется ни на каком конечном шаге.

Значительно развита теория конечномерных М. а. и их представлений. Основные результаты этой теории аналогичны результатам теории алгебр Ли. Имеются аналоги классич. теорем Ли: если r расщепляемое представление разрешимой М. а. характеристики 0, то все матрицы r(х).могут быть приведены одновременно к треугольному виду; если r расщепляемое представление нильпотентной М. а. в пространстве V, то V разлагается в прямую сумму весовых подпространств Va, и все матрицы ограничений операторов r(х).на Va. могут быть приведены одновременно к треугольному виду с числом a(x) на главной диагонали.

Следующие результаты аналогичны критериям Кар-тана разрешимости и полупростоты алгебр Ли: если r точное представление М. а. ( р=0).и билинейная форма на А, ассоциированная с представлением r, тривиальна, то алгебра Аразрешима; если r представление полупростой М. а., то форма следа, ассоциированная с r, невырождена. Если киллингова форма алгебры Аневырождена, то Аполупроста.

Любое представление полупростой М. а. с р=0вполне приводимо. Если S - радикал (максимальный разрешимый идеал) М. а. А, N - нильрадикал (максимальный нильпотентный идеал), то для любого дифференцирования Dалгебры А

Произвольная конечномерная М. а. Ахарактеристики 0 есть прямая сумма (как линейных пространств) своего радикала Sи полупростой подалгебры В, изоморфной факторалгебре алгебры Апо радикалу S, и любые для полупростых фактора сопряжены внутренним автоморфизмом (аналог теоремы Леви Мальцева Хариш-Чандра, известной для алгебр Ли).

Лит.: [1] М а л ь ц е в А. И., "Матем. сб.", 1955, т. 36, № 3, с. 569-76; [2] S a g l е A. A., "Trails. Amer. Math. Soc.", 1961, v. 101, X" 3, p. 426-58; [3] К у з ь м и н Е. Н., "Алгебра и логика", 1968, т. 7, № 2, с. 42-47; [4] е г о же, там же, № 4, с. 48-69; [5] е г о же, там же, 1971, т. 10, № 1, с. 3-22; [6] его же, там же, 1977, т. 16, № 4, с. 424-31; [7] Филиппов В. Т.. там же, 1976, т. 15, № 1, с. 89-109; [8] е г о же, там же, 1977, т. 16, № 1, с. 101-108; [9] Г р и ш к о в А. Н., там же, № 4, с. 389-96; [10] Шестаков И. П., там же, № 2, с. 227 46. В. Т. Филиппов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985