Математическая энциклопедия - мальцева локальные теоремы

теоремы о перенесении свойств с локальных частей модели на всю модель, установленные А. И. Мальцевым. Система подмножеств множества наз. его локальным покрытием, если каждый элемент из этого множества содержится в нек-ром М i и любые два подмножества М i, Mj содержатся в нек-ром третьем подмножестве М k. Примеры локальных покрытий: система всех конечных подмножеств данного множества, система всех конечно порожденных подгрупп данной группы. Модель Млокально обладает свойством s, если существует локальное покрытие модели М, состоящее из подмоделей со свойством s. Для свойства моделей s(и соответствующего класса моделей) справедлива локальная теорема, если всякая модель, локально обладающая свойством s, обладает этим свойством в целом.

Источником самых разнообразных локальных теорем является следующая основная локальная теорема (или теорема компактности узкого исчисления предикатов) Мальцева [1]: если совместна каждая конечная подсистема нек-рой бесконечной системы аксиом узкого исчисления предикатов, то совместна и вся система. А. И. Мальцев [2] указал общий метод получения конкретных локальных теорем теории групп с помощью основной локальной теоремы, положив этим начало моделей теории. Позднее, усовершенствовав свой метод, он доказал [3] локальную теорему для любого свойства, записываемого т. н. квазиуниверсальными аксиомами. Вопрос о справедливости локальной теоремы для свойства s, к-рый решался кустарно для каждого s, был тем самым сведен к общему и чисто "грамматическому" вопросу: нельзя ли записать 0 квазиуниверсальными аксиомами?

Лит.:[1] М а л ь ц е в А. И., "Матем. сб.", 1936, т. 1, № 3, с.323-36; [2] его же, "Уч. записки Ивановского гос. пед. ин-та", 1941, т. 1, в. 1, с. 3-9; [3] е г о же, "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1959; т. 23, № 3, с. 313-36; [4] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И., Основы теории групп, 2 изд., М., 1977. Ю. И. Мерзляков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985