Математическая энциклопедия - малого параметра метод

в т е о р и и дифференциальных уравнений приемы построения приближенных решений дифференциальных уравнений и систем, зависящих от параметра.

1) М. п. м. для обыкновенных дифференциальных уравнении. Обыкновенные дифференциальные уравнения, к к-рым приводят прикладные задачи, обычно содержат один или несколько параметров. Параметр может входить также в начальные данные или граничные условия. Поскольку найти точное решение дифференциального уравнения можно лишь для отдельных весьма частных классов, возникла задача о построении приближенного решения. Одна из типичных постановок ее такова: уравнение и начальные (граничные) условия содержат параметр l и решение известно (или его можно считать известным) при l=l0;требуется построить приближенное решение при значениях параметра l, близких к l0, т. е. построить асимптотику решения при где e=l-l0 - малый параметр. М. п. м., возникший в связи с задачей трех тел небесной механики, восходит к Ж. Д'Аламберу (J. D'Alembert) и интенсивно развивается с кон. 19 в.

Ниже используются следующие обозначения: tнезависимое переменное, e>0 малый параметр, I отрезок знак означает асимптотич. равенство. Все векторные и матричные функции, входящие в уравнения и в граничные условия, предполагаются гладкими (класса ) по совокупности переменных в рассматриваемой области (по e при или ).

1. Задача Коши для системы n-го порядка:

Пусть решение предельной задачи (т. е. задачи, получающейся из (1) при e=0) существует и единственно при _ Тогда для решения x(t, е).задачи (1) справедливо асимптотич. разложение при

равномерное по Этот факт вытекает из теоремы о гладкой зависимости от параметра решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Если вектор-функции f и х 0 голоморфны при то ряд (2) сходится к решению x(t, е) при достаточно малых |e| равномерно по (теорема Пуанкаре). Аналогичные результаты справедливы и для краевой задачи для системы вида (1), если решение соответствующей предельной задачи существует и единственно.

Различают два вида зависимости уравнения (или системы) от малого параметра регулярную и сингулярную. Система в нормальной форме регулярно зависит от параметра e, если все правые ее части гладкие функции от e при малых в противном случае система зависит от параметра 8 сингулярно. При регулярной зависимости системы от e решение задачи с параметром на конечном отрезке по t, как правило, равномерно стремится при к решению предельной задачи.

2. В линейной теории рассматриваются сингулярно зависящие от параметра е системы n-го порядка

где элементы -матрицы Аи компоненты вектора fкомплекснозначные функции. Центральная задача линейной теории построение такой фундаментальной системы решений (ф. с. р.) однородной системы (т. е. при ), для к-рой асимптотика при известна на всем отрезке I.

Основным результатом линейной теории является следующая теорема Биркгофа. Пусть: 1) собственные значения матрицы A(t,0) различны при 2) величины

не меняют знак. Тогда существует ф. с. p. x1(t,e), ..., xn(t,e) однородной системы

для к-рой справедливо асимптотич. разложение при

Это разложение равномерно по и его можно дифференцировать по tи по е любое число раз. Если матрица Ане зависит от е, т. е. А=А(t), то

где левые и правые собственные векторы матрицы A(t), нормированные условием

Решения, имеющие асимптотику вида (3), наз. также ВКБ-решениями (см. ВКБ-метод). Качественная структура этих решений такова. Если

то xj есть вектор-функция типа пограничного слоя при t0=0 (t0=Т), т. е. заметно отлична от нуля только в е-окрестности точки t=0 (t= Т). Если же то решение xj сильно осциллирует при и имеет порядок O(1) на всем отрезке I.

Если матрица-функция A(t, e) голоморфна при и условие 1) выполнено, то формула (3) справедлива при где t1>0 достаточно мало. Трудной проблемой является построение асимптотики ф. с. р. при наличии на Iточек поворота, т. е. точек, в к-рых матрица A(t,0) имеет кратное собственное значение. Эта проблема полностью решена только для отдельных типов точек поворота (см. [1]). В окрестности точки поворота имеется переходная область, в к-рой решение устроено довольно сложно и в простейшем случае выражается через Эйри функции.

Аналогичные результаты (см. [1]) справедливы для скалярных уравнений вида

где а j комплекснозначные функции; роль функций играют корни характерйстич. уравнения

ВКБ-решения возникают также и в нелинейных системах вида

ВКБ-асимптотика (3), в условиях теоремы Биркгофа, справедлива на бесконечном интервале (т. е. разложение (3) асимптотическое и при и при ), если матрица A(t, е) достаточно правильно ведет себя при напр. быстро стремится к постоянной матрице с различными собственными значениями (см. [2]). К сингулярным задачам с малым параметром приводят многие вопросы спектрального анализа (см. [3]) и математич. физики. 3. Особый интерес представляет исследование нелинейных систем вида

где e>0 малый параметр. Первое уравнение описывает быстрые движения, второе медленные движения. Напр., Ван дер Поля уравнение с помощью замены

приводится при больших значениях параметра l, к системе

имеющей вид (4).

При e=0 уравнение быстрых движений вырождается в уравнение f(x, у)=0. Пусть это уравнение имеет в нек-рой ограниченной замкнутой области Dизменения уизолированный устойчивый непрерывный корень x=j(y) (т. е. действительные части всех собственных значений матрицы Якоби отрицательны при x=j(y), ); пусть решения задачи (4) и вырожденной задачи

существуют и единственны при причем получающаяся при решении задачи (5) функция при Если точка ( х 0, у 0).принадлежит области влияния корня x=j(y), то

при где решение вырожденной задачи (теорема Тихонова). Вблизи точки t=0 предельный переход является неравномерным возникает пограничный слой. Для задачи (4) построена асимптотика решения:

а асимптотика для y(t,e) имеет аналогичный вид. В (6) первая сумма регулярная часть асимптотики, вторая пограничный слой. Регулярная часть асимптотики вычисляется стандартным способом: ряды вида (2) подставляются в систему (4), правые части разлагаются в ряды по степеням е и затем приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях е. Для вычисления погранслойной части асимптотики в окрестности точки t=0 вводится новая переменная t=t/e, (быстрое время) и применяется описанная выше процедура. Возникает нек-рый интервал на оси t, на к-ром пригодно и регулярное (или внешнее) разложение, и погранслойное (или внутреннее) разложение. Функции х k, П k определяются из условия совпадения этих разложений (т. н. метод сращивания, см. [4], [5]).

Аналогичные результаты справедливы в случае, когда правые части системы (4) явно зависят от t, для скалярных уравнений вида

и для краевых задач для таких систем и уравнений (см. Дифференциальные уравнения с малым параметром при производных,[6], [7]).

При приближении решения задачи (4) к т о ч к е срыва, где теряется устойчивость (напр., где одно из собственных значений матрицы df/дх при х=j(у).обращается в нуль), ряды вида (5) теряют асимптотич. характер. В окрестности точки срыва асимптотика имеет совершенно иной характер (см. [8]). Исследование окрестностей точки срыва особенно существенно для построения асимптотич. теории релаксационных колебаний.

4. Задачи небесной механики и теории нелинейных колебаний приводят, в частности, к необходимости исследовать поведение решения задачи (1) не на конечном интервале, а на большом, порядка e^-1 или более высокого, интервале по t. Для исследования этих задач широко применяется метод усреднения (см. Крылова Боголюбова метод усреднения, Малые знаменатели,[9] [11]).

5. Асимптотика решений уравнений вида (7) исследуется, в частности, с помощью т.