Математическая энциклопедия - монодромии преобразование

преобразование слоев (или их гомотопич. инвариантов) расслоенного пространства, соответствующее нек-рому пути в базе. Более точно, пусть локально тривиальное расслоение и пусть путь в Вс началом в точке и концом в . Тривиализация расслоения определяет гомеоморфизм слоя на слой.. При изменении тривиализации гомеоморфизм заменяется на гомотопически эквивалентный гомеоморфизм; это же происходит и при замене пути угомотопным путем. Гомотопич. тип гомеоморфизма и наз. преобразованием монодромии, соответствующим пути . Когда а=b, т. е. когда путь является петлей, М. п. гомеоморфизм слоя в себя (определенный, опять-таки, с точностью до гомотопии). Это отображение, а также гомоморфизмы, индуцированные им в гомологиях и когомологиях слоя F, также наз. М. п. Сопоставление петле преобразования задает представление фундаментальной группы

Понятие М. п. возникло при изучении многозначных аналитич. ций (см. Монодромии теорема). Если риманова поверхность такой функции, то выбрасыванием из сферы Римана особых точек функции получается неразветвленноо накрытие. М. п. в этом случае наз. также преобразованием наложения или скольжения.

Наиболее часто М. п. возникает в следующей ситуации. Пусть диск в комплексной плоскости, аналитич. ространство, а собственное голоморфное отображение, слой Уменьшая, если нужно, радиус D, можно добиться, чтобы расслоение стало локально тривиальным. М. п. Т, связанное с обходом вокруг О в D, наз. монодромией семейства в точке ; оно действует в когомологиях (или гомологиях) слоя где Более других изучен случай, когда пространство Xгладкое, как и все слои , Действие монодромии Тна пространстве в этом случае квазиунипотентно [4], т. е. существуют целые положительные числа ки N такие, что . В свойствах монодромии проявляются многие характерные черты вырождения семейства Монодромия семейства тесно связана со смешанной структурой Ходжа в когомологиях (см. [5] [7]).

В случае, когда особенности изолированы, М. п. может быть локализовано. Пусть хособая точка отображения f (или, что то же, слоя Х о). и пусть Вшар достаточно малого радиуса в Xс центром в х. Уменьшая, если нужно, радиус D, можно определить локальную тривиализацию расслоения согласованную на границе с тривиализацией расслоения Это дает диффеоморфизм Тмногообразия "исчезающих циклов" в себя, тождественный на его крае и называемый локальной монодромией f в точке х. Действие М. п. на когомологиях отражает важнейшее свойство особенности отображения f в точке х(см. [1], [2], [7]). Известно, что многообразие гомотопически эквивалентно букету n-мерных сфер, где число Милнора ростка fв х.

Простейшим является случай особенности Морса, когда функция f в окрестности точки хприводится к виду В этом случае , а внутренность многообразия диффеоморфна касательному расслоению к n-мерной сфере . Исчезающим циклом наз. образующая группы когомологий с компактными носителями определенная с точностью до знака. Вообще, если собственное голоморфное отображение (как выше, имеющее единственную морсовскую особенность в точке х), то исчезающим в точке хциклом наз. также образ цикла при естественном отображении В этом случае гомоморфизм специализации является изоморфизмом при и последовательность

точна. М. п. Тдействует на тривиально при а его действие на задается формулами Пикар а-Лефшеца : для

Знаки в этой формуле и значения собраны в таблице.