Математическая энциклопедия - моногенная полугруппа

циклическая полугрупп а,полугруппа, порожденная одним элементом. М. п., порожденная элементом о, обозначается обычно (иногда ) и состоит из всевозможных степеней с натуральными показателями. Если все эти степени различны, то изоморфна аддитивной полугруппе натуральных чисел. В противном случае конечна, и тогда число ее элементов наз. порядком полугруппы , а также порядком элемента а. Если бесконечна, то говорят, что элемент аимеет бесконечный порядок. Для конечной М. п.существует наименьшее число hс тем свойством, что при нек-ром ; число hназ. индексом элемента а(а также полугруппы А). Если при этом dнаименьшее число с тем свойством, что , то dназ. периодом элемента а(полугруппы А). Пара (h, d)наз. типом элемента а(полугруппы А). Для любых натуральных чисел hи d существует М. п. типа (h, d);две конечные М. п. изоморфны тогда и только тогда, когда их типы совпадают. Если {h, d)тип М. п., то элементы различны, и, следовательно, порядок Аравен h+d-1; множество

является в Анаибольшей подгруппой и наименьшим идеалом; единица егруппы Gбудет единственным идем-потентом в А, причем при любом l таком, что ; группа Gциклическая группа, ее порождающим элементом будет, напр., ае. Идемпотент конечной М. п. является в ней единицей (нулем) тогда и только тогда, когда ее индекс (соответственно период) равен 1; это эквивалентно тому, что данная М. п. есть группа (соответственно нильпотентная полугруппа). Всякая подполугруппа бесконечной М. п. является конечно порожденной полугруппой.

Лит.:[1] Клиффорд А., Престон Г., Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 1, М., 1972; [2] Ляпин Е. С, Полугруппы, М., 1960.

Л. Н. Шеврин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985