Математическая энциклопедия - мультипликативный интеграл

предел произведений вида

где непрерывная на отрезке функция со значениями в пространстве ограниченных операторов в банаховом пространстве разбиение отрезка точками Предел берется, когда диаметр разбиения и обозначается

Если операторы коммутируют при различных t, то

М. и. является удобной формой представления эволюционного оператора для дифференциального уравнения (см. [1]). При этом

Произведение, пределом к-рого является последний М; и., также является эволюционным оператором для уравнения с кусочно постоянным оператором при

Если и две непрерывные оператор-функции, то справедлива формула

где знак над произведением означает, что множители с меньшими номерами пишутся правее множителей с большими.

Формулы (1), (2) допускают обобщения на нек-рые классы дифференциальных уравнений с неограниченными оператор-функциями, откуда получаются представления решений дифференциальных уравнений с частными производными параболического и шрёдингерова типов в виде интегралов по траекториям (континуальных интегралов) (см. [2]).

Формулы типа (2) лежат также в основе нек-рых численных методов решения уравнений.

Если скалярная непрерывная функция, а операторнозначная непрерывная функция ограниченной вариации, то существует предел

наз. мультипликативным интегралом Стилтьеса. Эти интегралы нашли применение в теории J-нерастягивающих матриц и операторов (см. [3], [4]).

Лит.:[1] Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г., Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, М., 1970; [2] Далецкий Ю. Л., "Успехи матем. наук", 1962, т. 17, в. 5, с. 3-115; [3] Потапов В. П., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1955, т. 4, с. 125-236; [4] Гинзбург Ю. П., "Матем. исследования", (Киш.), 1967, т. 2, № 2, с. 52-83.

С. Г. Крейн.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985