Математическая энциклопедия - мультипликативная решетка

полная решетка с дополнительной бинарной коммутативной и ассоциативной операцией, наз. умножением (и обозначаемой ), такой, что наибольший элемент решетки играет роль мультипликативной единицы и

для любых и произвольного множества индексов . Теория М. р. возникла как результат применения теоретико-структурных методов к изучению решеток идеалов коммутативных колец (см. [2]), и поэтому большинство понятий и результатов имеет аналоги (или приложения) в коммутативных кольцах (см. [1]).

Пусть LМ. р. и а,, тогда Элемент наз. -главным (соответственно -главным), если (соответственно для любых -главный и -главный одновременно элемент наз. главным. Нётеровой решеткой наз. модулярная и удовлетворяющая условию обрыва возрастающих цепей М. р., в к-рой каждый элемент является объединением нек-рых главных элементов. Полная решетка Мназ. модулем над мультипликативной решеткой , если для любых , определено произведение , причем

(здесь наибольший элемент в и нули решеток Lи Мсоответственно).

Наиболее изученный класс М. р.нётеровы решетки. Здесь можно выделить следующие направления. 1) Вопросы представления нётеровой решетки как решетки идеалов подходящего нётерова кольца (известно, что решетка идеалов любого нётерова кольца нётерова, однако существуют нётеровы решетки, к-рые не могут быть даже вложены в решетку идеалов нётерова кольца [3]). 2) Изучение нётеровых модулей над М. р. 3) Изучение понятий и свойств, к-рые переносятся на нётеровы решетки из теории идеалов нётеровых колец (понятия простого и примарного элементов, размерности, собственного максимального элемента, полулокальной и локальной решетки). Описаны [4] дистрибутивные регулярные локальные нётеровы М. р. Построена теория локализации и ассоциированных простых элементов для гораздо более широкого, чем нётеровы, класса М. р., включающего в себя решетки идеалов произвольных коммутативных колец.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971; [2] Dilwоrth R. P., "Pacific J. Math.", 1962, v. 12, p. 481-98; [3] Воgаrt K., "Proc. Amer. Math. Soc", 1969, v. 22, № 1, p. 129-33; [4] eго же, "Mich. Math. J.", 1968, v. 15, № 2, p. 167-76; 1969, v. 16, № 3, p. 215-23; [5] Фофанова Т. С, в сб.: Упорядоченные множества и решетки, в. 3, Саратов, 1976, с. 22-40.

Т. С. Фофанова.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985