Математическая энциклопедия - мультиполя потенциал

гармоническая функция в области пространства являющаяся частной производной какого-либо порядка от главного фундаментального решения уравнения Лапласа, т. е. функция вида

Пусть для краткости ; при потенциалы диполей имеют вид

где направляющие косинусы радиус-вектора точки наблюдения . Функция напр., истолковывается как потенциал диполя с моментом 1 и осью , то есть как предел при суммы ньютоновых потенциалов массы , помещенной в точке , и массы , помещенной в точке ; иначе эту функцию можно представить себе как магнитный потенциал маленького магнита, расположенного вдоль оси в начале координат.

Аналогично, функции и суть потенциалы диполей с осями соответственно и . Составляя линейные комбинации этих функций, можно получить потенциал произвольно ориентированного диполя с любым моментам . При имеют место квадруполей потенциалы, получаемые предельным переходом для определенных систем четырех точечных масс, сумма которых всегда равна нулю, и т. д.

Ньютонов потенциал ограниченного тела плотности расположенного так, что можно разложить в ряд по М. п.

общая масса тела G, а коэффициенты

наз. при дипольными моментами, при квадрупольными моментами и, вообще, при всех мультипольными моментами. Ряд (1) отличается от разложения потенциала по сферич. функциям

перегруппировкой членов, и члены ряда (2) можно также истолковывать как потенциалы специальным образом ориентированных мультиполей (см. [1]). Поэтому коэффициенты также часто наз. соответственно дипольными, квадрупольными и, вообще, мультипольными моментами.

Разложения типа (1) и (2) применяются для описания н приближенного представления скалярных или векторных потенциалов не только в связи с фундаментальным решением уравнения Лапласа, но и уравнения Гельмгольца (см. [2]).

В гидродинамике плоских течений идеальной несжимаемой жидкости находят также применение комплексные М. п. вида

где z комплексное переменное, и соответственно момент и угол ориентации мультиполя. Получающийся при дипольный потенциал истолковывается как предел при суммы комплексных потенциалов источника мощности 1 в точке и стока мощности 1 в точке . Разложению (1) здесь соответствует разложение комплексного потенциала скоростей потока, обтекающего плоское тело G, в окрестности бесконечно удаленной точки:

При этом действие обтекаемого тела заменяется суммарным действием М. п., помещенных в начале координат (см. [3]).

Лит.:[1] Морс Ф. М., Фешбах Г., Методы теоретической физики, пер. с англ., т. 2, М., 1960; [2] Джексон Дж., Классическая электродинамика, пер. с англ., М., 1965; [3] Милн-Томсон Л.-М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964.

Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985