Математическая энциклопедия - неограниченный оператор

отображение Амножества Мтопологического векторного пространства Xв топологическое векторное пространство Y такое, что существует ограниченное множество , образ к-рого есть неограниченное множество в Y.

Простейшим примером Н. о. является оператор дифференцирования , определенный на множестве всех непрерывно дифференцируемых функций пространства всех функций, непрерывных на , так как оператор переводит ограниченное множество в неограниченное множество . Н. о. Анеобходимо разрывен в нек-рых (а если Алинеен, то и во всех) точках своей области определения. Поэтому важным классом Н. о. являются замкнутые операторы, обладающие свойством, в нек-рой степени заменяющим свойство непрерывности.

Пусть Аи ВН. о. с областями определения DA и . Если , то на этом пересечении определен оператор (или ), и аналогично, если , то определен оператор . В частности, таким образом определяются степени Н. о. А. Оператор Вназ. расширением оператора А, , если и для . Так, . Перестановочность двух операторов обычно рассматривается для того случая, когда один из операторов ограничен: Н. о. Аперестановочен с ограниченным оператором В, если .

Для линейных Н. о. определяется понятие сопряженного оператора. Пусть Н. о. А, заданный на множестве DA , плотном в топологическом векторном пространстве X, действует в топологическое векторное пространство Y. Если и пространства, сильно сопряженные соответственно с Xи Y, и совокупность линейных функционалов , для к-рых существует линейный функционал такой, что при всех , то соответствие определяет на (к-рое, впрочем, может состоять лить из нулевого элемента) пространства оператор , наз. оператором, сопряженным с А.

Лит.:[1] Иосида К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967; [2] Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962; [3] Рисе Ф-, Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, 2 изд., пер. с франц., М., 1979; [4] Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; [5] Нейман Д ж., Математические основы квантовой механики, пер. с нем., М., 1964.

В. И. Соболев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985