Математическая энциклопедия - неопределенных коэффициентов метод

построения численных алгоритмов специальный метод построения алгоритмов, основанный на требовании, чтобы алгоритм был точен или имел погрешность определенного порядка точности на нек-ром множестве задач.

Типичным примером задач, к-рые наряду с другими методами могут решаться Н. к. м., являются следующие (см. [1], [2]). Известны значения функции . Требуется построить формулу для приближения функции:

формулу для вычисления производной:

формулу для вычисления интеграла:

Для решения последней из этих задач задаются нек-рой формой приближенного решения, напр, линейной

и определяют коэффициенты из требования, чтобы приближенная формула была точной для функций из нек-рой совокупности, напр, вида

где фиксированы, произвольны. Как правило, берут . Чтобы равенство

выполнялось при всех , достаточно выполнения соотношений

Отсюда определяют (если это возможно) искомые Иногда задаются более сложной формой зависимости. Напр., при приближении функций часто известно, что рассматриваемая функция хорошо приближается функциями вида где неизвестны. Параметры а т подбирают из системы уравнений

В случае формул численного интегрирования в качестве неизвестных параметров часто выступают и координаты узлов интегрирования. Напр., в квадратурных формулах Гаусса вида

рассматриваются как свободные параметры координаты узлов ; благодаря этому удается построить квадратуры, точные для многочленов степени . При конструировании аппроксимаций дифференциальных уравнений с помощью Н. к. м. требуют, чтобы при подстановке в конечноразностную схему решения задачи получалась величина рассогласования (невязка )требуемого порядка малости по отношению к шагу сетки. Такой прием положен в основу способов построения методов Рунге Кутта и конечноразностных методов (см. [1], [2]).

Особенно широко Н. к. м. используется при построении аппроксимаций уравнений с частными производными (см. [3]).

Лит.:[1] Березин И. С, Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1, М., 1966; 2 изд., т. 2, М., 1962; [2] Бахвалов Н. С, Численные методы, 2 изд., М., 1975; [3] Годунов С. К., Рябенький В. С, Разностные схемы. Введение в теорию, 2 изд., М., 1977.

Н. С. Бахвалов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985