Математическая энциклопедия - обращение ряда

получение по известному степенному ряду

ряда для обратной функции в виде

где

Ряд (2) наз. также О. р. (1), или рядом Лагранжа. Более общая задача о получении разложения произвольной сложной аналнтич. функции F[j(w)]решается Бюрмана Лагранжа рядом. Если круг сходимости ряда (1) есть , то ряд (2) сходится в круге где есть расстояние от точки bдо образа окружности при отображении

Если функция разлагается в ряд вида

т. е. если акритическая точка для f(z), то обратная функция имеет в b алгебраическую точку

ветвления порядка т-1 и О. р. (3) возможно только в виде ряда Пюизё:

Аналогично решается задача обращения Лорана ряда по целым отрицательным и положительным степеням в том случае, когда в таком ряде имеется лишь конечное число отрицательных (или положительных) степеней (см. [1]).

Для аналитнч. функций многих комплексных переменных вопросы обращения ставятся по-разному. Напр., если невырожденное (т. е. такое, что ранг матрицы Якоби равен п)голоморфное отображение окрестности нуля в i f(0) = 0, то существует в нек-рой окрестности нуля и голоморфное обратное отображение , к-рое можно записать в виде многомерного ряда Бюрмана Лагранжа (см. [3]).

Лит.:[1] Маркушевич А. И., Теория аналитических Функций, 2 изд., т. 1, М., 1967; [2] Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. с нем., М., 1968; [3] Солтан Б. Е., в кн.: Голоморфные функции многих комплексных переменных, Красноярск, 1972, с.

Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985