Математическая энциклопедия - обратимый пучок

локально свободный пучок -модулей ранга 1 на окольцованном пространстве '. Эквивалентное определение О. п.: пучок -модулей, локально изоморфный пучку . О. п. на X, рассматриваемые с точностью до изоморфизма, образуют абелеву группу относительно операции тензорного умножения над . Эта группа наз. Пикара группой пространства Xи обозначается Pic X. Обратным к пучку. будет в ней пучок двойственный к . В случае, когда схема (в частности, алгебраич. многообразие) или аналитич. ространство, пучок -модулей обратим тогда и только тогда, когда он изоморфен пучку регулярных (соответственно аналитических) сечений нек-рого линейного алгебраического (соответственно аналитического) расслоения над X.

О. п. на схемах тесно связаны с дивизорами. Каждому дивизору Картье Dна Xсопоставляется О. п. чем определяется инъективный гомоморфизм , где группа классов дивизоров Картье на X. Для целых схем Xэтот гомоморфизм является изоморфизмом.

На проективной схеме Xопределяется подкручивающий обратимый пучок Серра . А именно, если задано вложение схемы X в проективное пространство , то соответствует классу гиперплоского сечения. В частности, если проективное пространство над полем к, то пучок есть прямой образ пучка линейных функций на при естественном отображении ... Систему однородных координат в можно отождествить с базисом пространства сечений

О. п. на схеме Xнад полем ксвязаны с рациональными отображениями схемы Xв проективные пространства. Пусть ' О. п. на схеме сечения пучка , значения к-рых в любой точке порождают слой над . Тогда существует единственный морфнзм такой, что и где однородные координаты в . О. п.на Xназ. очень обильным, если существует такое вложение что . О. п.на Xназ. обильным, если существует такое целое положительное п, что очень обилен. На нётеровой схеме Xнад кобратимый пучок обилен тогда и только тогда, когда для каждого когерентного пучка , на Xсуществует такое целое n о>0, что пучок порождается при , своими глобальными сечениями.

Если обильный О. п. на X, соответствующий дивизору D, то Dназ. обильным дивизором. Дивизор Картье Dна схеме X, собственной над алгебраически замкнутым полем к, обилен тогда и только тогда, когда для каждой замкнутой целой подсхемы индекс пересечения положителен, где r= dim Y. По поводу других критериев обильности см. [5]. Существует также обобщение понятия обильного дивизора на подмногообразия большей коразмерности [2].

Понятия очень обильного и обильного О. п. переносятся также на случай аналитич. ространств (по поводу критериев обильности в этой ситуации см. Положительное расслоение).

Лит.:[1] Hartshorne R., Algebraic geometry, N. Y., 1977; [2] его же, Ample subvarieties of algebraic varieties, N. Y. В., 1970; [3] Мамфорд Д., Лекции о кривых на алгебраической поверхности, пер. с англ., М., 1968; [4] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972; [5] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 10, М., 1972, с. 47 -112.

В. А. Псковских.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985