Математическая энциклопедия - обратное отображение
Связанные словари
Обратное отображение
(обратный оператор) к однозначному отображению (оператору)однозначное отображение gтакое, что
где нек-рые множества.
Если gудовлетворяет лишь условию (1), то оно наз. правым обратным отображением к f, если лишь (2) левым обратным отображением к f. О. о.существует тогда и только тогда, когда для любого ,полный прообраз состоит из единственного элемента . Если отображение f имеет обратное отображение f-1, то уравнение
однозначно разрешимо при любом . Если существует только правое О. о., то существует и решение уравнения (3), но вопрос об однозначности решения остается открытым. Наличие же лишь левого О. о. обеспечивает единственность решения в предположении, что оно существует. Если Xи Y векторные пространства, и A линейный оператор из Xв Y, то А -1, если он существует, тоже линеен. Вообще, в случае наделения Xи Y той или иной структурой, случается, что нек-рые свойства оператора Асохраняются и при переходе к в предположении, что он существует. Так, если Xи Y банаховы пространства и замкнутый оператор, то также замкнут; если Нгильбертово пространство и самосопряжен, то также самосопряженный оператор; если нечетная функция, то также нечетная, и т. д. Непрерывность Ане всегда сохраняется при переходе к для многих важных классов линейных операторов, напр, вполне непрерывных. Важными признаками непрерывности операторов, обратных к линейным, являются следующие.
Пусть Xконечномерное векторное пространство с пек-рым базисом и задается в этом базисе, матрицей . Для существования необходимо и достаточно, чтобы (операторы Аи А -1 в этом случае автоматически непрерывны).
Пусть Xи Y банаховы пространства и A линейный непрерывный оператор из Xв Y.
1) Если существует и непрерывен.
2) Если существует и непрерывен, причем
где ряд справа сходится по норме в пространстве
3) Оператор существует и непрерывен на всем Y тогда и только тогда, когда его сопряженный имеет обратный, определенный и непрерывный на всем При этом .
4)Если оператор существует и непрерывен и , то оператор также существует и непрерывен, причем
Таким образом, множество обратимых операторов открыто в в равномерной топологии этого пространства.
5) Теорема Банаха об изоморфизме: если Авзаимно однозначно отображает Xна Y, то О. о., к-рое существует, непрерывно. Эта теорема допускает обобщение: взаимно однозначное линейное непрерывное отображение совершенно полного пространства Xна отделимое бочечное пространство Y является топологич. изоморфизмом.
Ряд утверждений о существовании и непрерывности оператора, обратного к линейному непрерывному, содержится в спектральной теории линейных операторов, действующих в гильбертовом пространстве. Так, если Асамосопряжен и не действительно, то существует и непрерывен.
Лит.:[1] Данфорд Н., Шварц Д ж., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962; [2] Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, 2 изд., М., 1977; [3] Рудин У., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1975; [4] Робертсон А.-П., Робертсон В.-Дж., Топологические векторные пространства, пер. с англ., М., 1967.
В. И. Соболев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия
И. М. Виноградов
1977—1985