Математическая энциклопедия - обратные тригонометрические функции

аркфуикции, круговые функции,функции, обратные тригонометрическим функциям. Шести основным тригонометрич. функциям соответствуют шесть О. т. ф.: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс, арккосеканс; обозначаются соответственно Arc sin х,Arc cos x,Arc tg x,Arc ctg x,Arc sec x,Arc cosec x. Функции Arc sin xи Arc cos xопределены (в действительной области) для , функции Arc tg x и Arc ctg xдля всех действительных х, а функции Arc sec xи Arc cosec xдля ; две последние функции малоупотребительны. Другие обозначения: и т. п.

Так как тригонометрич. функции периодические, то обратные к ним функции являются многозначными функциями. Определенные однозначные ветви (главные ветви) этих функции обозначаются так: arc sin х,arc cos x, ... Именно, arc sin xесть та ветвь функции Arc sin x, для к-рой Аналогично, функции arc cos x,arc tg хи arc ctg xопределяются из условий: , .

На рисунке изображены графики функций у= Аrс sin х, у= Аrсcos, x, у=Arc tg x, y=Arc ctg x ', главные ветви этих функций выделены жирной линией. О. т. ф. Arc sin x, . . . легко выражаются через arc sin x, . .., напр.:

О. т. ф. связаны соотношениями

Поэтому функции в нижеследующих формулах не фигурируют.

О. т. ф. бесконечно дифференцируемы и в окрестности каждой внутренней точки своей области определения могут быть разложены в ряды Тейлора. Производные, интегралы и разложения в ряды О. т. ф.:

О. т. ф. комплексного переменного определяются как аналитические продолжения соответствующих О. т. ф. действительного переменного в комплексную плоскость.

О. т. ф. выражаются через логарифмическую функцию:

Ю. В. Сидоров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985