Математическая энциклопедия - оптимальности достаточные условия

условия, обеспечивающие оптимальность данного решения задачи вариационного исчисления в выбранном классе кривых сравнения.

О. д. у. слабого минимума (см. [1]): для того чтобы кривая доставляла слабый минимум функционалу

(1) при граничных условиях. y.(x0) = y0 ,y(x1) = y1, достаточно, чтобы выполнялись следующие условия.

1) Кривая должна быть экстремалью, т. е. удовлетворять Эйлера уравнению

2) Вдоль кривой , включая ее концы, должно выполняться усиленное Лежандра условие

Fy'y'( х, у, y') >0.

3) Кривая должна удовлетворять усиленному Якоби условию, требующему, чтобы решение уравнения Якоби

(2) с начальными условиями

h(x0)=0, h'(x0) = 1

не обращалось в нуль в точках замкнутого справа интервала

Коэффициенты уравнения Якоби (2), представляющего собой линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка, вычисляются вдоль экстремали и представляют известные функции от х.

Для сильного минимума достаточно, чтобы дополнительно, помимо перечисленных выше, выполнялось следующее условие.

4) Существует окрестность кривой , в каждой точке (x, у).к-рой при любом у' выполняется неравенство

(3)

где

функция Вейерштрасса, а и( х, у) - наклон поля . экстремалей, окружающего

На самой экстремали условие (3) принимает вид

(4)

Условие (4) является необходимым для сильного минимума; оно наз. необходимым условием Вейерштрасса. Таким образом, в отличие от достаточных условий слабого минимума, к-рые требуют выполнения нек-рых усиленных необходимых условий в точках самой экстремали, в достаточных условиях сильного минимума требуется выполнение необходимого условия Вейерштрасса в нек-рой окрестности экстремали. В общем случае нельзя ослабить формулировку достаточных условий сильного минимума, заменив требование выполнения условия Вейерштрасса в окрестности экстремали на усиленное условие Вейерштрасса (условие (4) со знаком строгого неравенства) в точках экстремали (см. [1]).

Для неклассических вариационных задач, рассматриваемых в оптимального управления математической теории, существует несколько подходов к установлению О. д. у. абсолютного экстремума.

Пусть поставлена задача оптимального управления, в к-рой требуется определить минимум функционала

при условиях

где U - заданное замкнутое множество р-мерного пространства.

При использовании метода динамического программирования [3] О. д. у. формулируются следующим образом. Для того чтобы управление u(t).было оптимальным управлением в задаче (5)-(8), достаточно, чтобы:

1) существовала такая непрерывная функция S(x), к-рая имеет непрерывные частные производные при всех х, за исключением, быть может, нек-рого кусочно гладкого множества размерности меньше п, равна нулю в конечной точке х 1, S(x1)=0, и удовлетворяет уравнению Беллмана

2) u(t)=v(x(t)), при , где v(х) - синтезирующая функция, определяемая из уравнения Беллмана:

В действительности при использовании метода динамич. программирования получается более сильный результат: О. д. у. для множества различных управлений, переводящих фазовую точку из произвольного начального состояния в заданное конечное состояние x1.

В более общем случае, когда рассматривается неавтономная система, т. е. подинтегральная функция и вектор-функция правых частей зависят еще и от времени t, функция Sдолжна зависеть от tи к левой части уравнения (9) следует добавить слагаемое . Имеется доказательство (см. [4]), в к-ром удалось снять весьма стеснительное и не выполняющееся в большинство задач, но обычно предполагаемое условие непрерывной дифференцируемости функции S(х).для всех х.

О. д. у. могут быть построены на основе принципа максимума Понтрягина. Если в нек-рой области Gфазового пространства осуществлен регулярный синтез, то все траектории, полученные с помощью принципа максимума при построении регулярного синтеза, являются оптимальными в области G.

Определение регулярного синтеза хотя и является довольно громоздким, но по существу не накладывает особых ограничений на задачу (5)-(8).

Существует другой подход к установлению О. д. у. (см. [5]). Пусть j(x) функция, непрерывная вместе со своими частными производными при всех допустимых х, принадлежащих заданной области G, и

Для того чтобы пара , доставляла абсолютный минимум в задаче (5) (8), достаточно существование такой функции j(x), что

Допускаются соответствующие изменения приведенной формулировки О. д. у. для более общих случаев неавтономной системы, задач с функционалами типа Майера и Больца (см. Больца задача), а также для скользящих оптимальных режимов (см. [5]).

Исследовались вариационные задачи с функционалами в виде кратных интегралов и дифференциальными связями в форме уравнений с частными производными, в к-рых рассматриваются функции нескольких переменных (см. [6]).

Лит.:[1] Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., М.Л., 1950; [2] Блисс Г. А. Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950; [3] Беллман Р., Динамическое программирование, пер. с англ., М., 1960; [4] Болтянский В. Г., Математические методы оптимального управления, М., 1966; [5] Кротов В. Ф., "Автоматика и телемеханика", 1962, т. 23, № 12, с. 1571-83; 1963, т. 24, № 5, с. 581-98; [6] Бутковский А. Г., Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами, М., 1965. И. Б. Вапнярский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985