Математическая энциклопедия - оптимальное управление программное

решение задачи оптимального управления математической теории, в к-рой управляющее воздействие u=u(t).формируется в виде функции времени (тем самым предполагается, что по ходу процесса никакой информации, кроме заданной в самом начале, в систему не поступает). Таким образом, О. у. п. формируется по априорным сведениям о системе и уже не может быть скорректировано, в отличие от оптимального управления позиционного.

Проблема существования решений задачи О. у. п. разбивается на два вопроса: выяснение осуществимости цели управления при заданных ограничениях (существование допустимого управления, реализующего цель управления) и установление разрешимости экстремальной задачи достижимость экстремума (как правило, относительного) в упомянутом выше классе допустимых управлений (существование оптимального управления).

В связи с первым вопросом весьма важно изучение свойства управляемости системы. Для системы

оно означает существование в заданном классе U= функций, допускаемых к рассмотрению, управлений u(t), переводящих фазовую точку (см. Понтрягина принцип максимума).из любого заданного начального положения в любое заданное конечное положение (за фиксированное или свободное время T=t1-t0, в зависимости от постановки задачи). Необходимые и достаточные условия управляемости (или, как еще принято говорить, полной управляемости) известны в конструктивной форме для линейных систем

(1)

с аналитическими или периодич. коэффициентами (они наиболее просты при , ). Для линейных систем общего вида полностью решается и вопрос о разрешимости задачи попадания с, одного выпуклого множества на другое (при выпуклых ограничениях на и, х). В нелинейном случае известны лишь локальные условия управляемости (справедливые в малой окрестности заданного движения) или условия для частных классов систем (см. [2], [4], [5]). Свойство управляемости изучают и в рамках многочисленных обобщений, связанных, в частности, с рассмотрением специальных классов U(напр., множества Uвсех ограниченных кусочно непрерывных управлений u(t)), задач управляемости по части координат или изучением более общих классов систем, в том числе бесконечномерных.

Вопрос о существовании оптимального управления в общем случае связан со свойством компактности в той или иной топологии минимизирующих последовательностей управлений или траекторий и свойством полунепрерывности по соответствующим переменным минимизируемых функционалов. Первое из этих свойств тесно связано для системы

(2) при ограничениях

(3) с выпуклостью множества

а второе (для интегральных функционалов) с выпуклостью по соответствующим переменным J(,). Отсутствие этих свойств возмещают путем расширения исходных вариационных задач. Так, невыпуклость J(t, х, и).можно возместить путем введения скользящих режимов -обобщенных решений обыкновенных дифференциальных уравнений, порожденных управлениями-мерами, заданными на Uи создающими эффект "овыпукления" (см. [6], [7]).

Отсутствие выпуклости у интегральных функционалов возмещают путем погружения задачи в более общую, с новым функционалом, являющимся выпуклой минорантой прежнего, и решения новой задачи в более широком классе управлений (см. [8]). В отмеченных случаях существование оптимального управления часто вытекает из существования допустимого управления.

Теория необходимых условий экстремума наиболее развита в задачах О. у. п. Основополагающим результатом здесь послужил принцип максимума Понтрягина, содержащий необходимые условия сильного экстремума в задаче оптимального управления.

Следует отметить создание общих приемов получения необходимых условий в экстремальных задачах, эффективно использованных для задач О. у. п. с более сложными ограничениями (фазовыми, функциональными, минимаксными, смешанными и т. д.) и основанных, так или иначе, на теоремах об отделимости выпуклых конусов (см. [9], [10]). Пусть, напр., Е - векторное пространство, f(x), ,- заданный функционал,

множества из Е,

-точка, в к-рой f(x).достигает минимума на ,

Суть распространенного общего метода состоит в том, что каждое из множеств , i=0,1,...,n, аппроксимируется в окрестности точки х ⁰ нек-рым выпуклым конусом Кi с вершиной в точке х ⁰ (конус "убывания" для ; конус "допустимых направлений" для ограничении, изображаемых неравенствами; конус "касательных направлений" для ограничений типа равенства, в том числе для дифференциальных связей, и т. д.). Необходимое условие минимума теперь состоит в том, чтобы х ⁰ была единственной точкой, общей для всех Ki, i=0,1,..., п, и, следовательно, чтобы конусы были "отделимы" (см. [8]). Последнему "геометрическому" условию далее придают аналитич. орму и но возможности преобразуют к удобному виду, напр. при помощи функции Гамильтона. В зависимости от исходных ограничений, а также от класса используемых вариаций, необходимые условия могут принимать как форму, аналогичную принципу Понтрягина, так и форму локального (линеаризованного) принципа максимума (условия слабого экстремума по и). Реализация отмеченного пути, таким образом, зависит от возможности аналитически описывать конусы Ki. Эффективное их описание достигается для множеств , задаваемых гладкими функциями, удовлетворяющими нек-рым дополнительным условиям регулярности в рассматриваемой точке, или выпуклыми функциями (см. [9], [10]). В принципе отмеченный путь допускает обобщения и на случай негладких ограничений, в том числе дифференциальных. Здесь, напр., может быть использовано понятие субдифференциала выпуклой функции или его обобщения, когда выпуклость отсутствует (см. [11], [12]).

Условия 1-го порядка, аналогичные принципу Понтрягина, известны для решений в классе обобщенных функций-мер (т. н. интегральный принцип максимума), для управляемых систем, описываемых дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, дифференциальными уравнениями с частными производными, эволюционными уравнениями в банаховом пространстве, дифференциальными уравнениями на многообразиях, рекуррентными разностными уравнениями и т. д. (см. [1], [6], [7], [13] [16]).

Из указанных необходимых условий экстремума в задаче оптимального управления вытекают известные необходимые условия 1-го порядка классического вариационного исчисления. В частности, в двухточечной краевой задаче для системы (2), (3), где Uоткрытое множество, ) стандартный интегральный функционал, из принципа Понтрягина вытекает необходимое условие экстремума Вейерштрасса в классическом вариационном исчислении.

В теории оптимального управления развиваются методы получения необходимых условий высших порядков (особенно 2-го порядка) для неклассических вариационных задач (см. [19]). Интерес к условиям высших порядков в значительной степени был связан с изучением вырожденных задач оптимального управления, приводящих к т. н. особым управлениям и не имеющих адекватных аналогов в классич. теории. Напр., в принципе Понтрягииа функция H(t,y, х, и).либо может приводить к целому семейству управлений, каждое из к-рых удовлетворяет принципу максимума, либо вообще не зависит от и(тогда любое из допустимых значений иудовлетворяет принципу Понтрягина). Эта ситуация оказалась весьма характерной для целого ряда прикладных задач управления в пространстве. В данном случае выделение оптимального управления уже требует перебора экстремалей 1-го порядка (т. н. экстремалей Понтрягина) и применения к ним необходимых условий оптимальности 2-го или, в общем случае, более высокого порядка. Здесь разные по форме необходимые условия были получены путем использования специальных классов "неклассических" вариаций (напр., "связок" игольчатых вариаций и т. д.). Реализация особых управлений часто связана снова с использованием скользящих режимов (см. [17], [18]).