Математическая энциклопедия - ошибочного декодирования вероятность

одна из возможных мер характеризации точности воспроизведения сообщений, передаваемых по каналу связи (см. также Сообщений точность воспроизведения). Пусть для передачи сообщения x, вырабатываемого источником сообщений и принимающего Мразличных возможных значений 1,. . ., М с распределением вероятностей р m=Р{x=m}, m=l, , . . , M, используется нек-рый канал связи. Тогда для фиксированных методов кодирования и декодирования (см. также Информации передача).О. д. в. Р е, т, m=1, . . ., М, определяется равенством

где декодированное сообщение на выходе канала. Средней О. д. в. Р е наз. величина

Особый интерес представляет изучение оптимальной О. д. в. , определяемой равенством

где нижняя грань берется по всевозможным методам кодирования и декодирования. Ввиду трудностей получения точного выражения для , связанных с тем обстоятельством, что в общем случае неизвестны оптимальные методы кодирования, интерес представляет изучение асимптотич. поведения при возрастании длительности передачи по каналу. Точнее, рассматривается следующая ситуация. Пусть для передачи используется отрезок длины N канала связи с дискретным временем и R=(ln M)/N. Требуется изучить асимптотич. поведение при и R=const (это означает, что длительность передачи возрастает, а ее скорость остается постоянной). Если рассматриваемый отрезок канала является отрезком однородного канала без памяти с дискретным временем и конечными пространствами Y и значений компонент сигналов на входе и выходе, то известны следующие верхние и нижние оценки :

(1)

где a(N) и b(N).стремятся к нулю с ростом N,aфункции Er(R).и Esp(R).определяются следующим образом:

(2)

(3) где

Здесь произвольное распределение вероятностей на ,

,компоненты сигналов на входе и выходе рассматриваемого канала без памяти. Известно, что Er(R).и Esp,(R), определяемые формулами (2) и (3), являются положительными, выпуклыми вниз, монотонно убывающими функциями от Rпри , где С канала пропускная способность, причем Er(R)=Esp(R). при , здесь Rcr - величина, определяемая переходной матрицей канала и называемая критической скоростью для данного канала без памяти. Таким образом, для значений , главные члены верхней и нижней оценок (1) для асимптотически совпадают, откуда следует, что для этого диапазона изменения Rизвестно точное значение функции надежности канала Е(R), определяемой равенством

Для значении , точное значение E(R).для произвольных каналов без памяти неизвестно (1983), хотя оценки (1) и могут быть улучшены. Экспоненциальный характер убывания доказан для весьма широкого класса каналов.

Лит.:[1] Галлагер Р., Теория информации и надежная связь, пер. с англ., М., 1974; 12] Файнстейн А., Основы теории информации, пер. о англ., М., I960.

Р. Л. Добрушин, В. В. Прелов.

НАДЕ АППРОКСИМАЦИЯ наилучшая рациональная аппроксимация степенного ряда. Пусть

(1)

произвольный степенной ряд (формальный или сходящийся), целые числа, R п, т - класс всех, рациональных функций вида р/q, где ри q - многочлены от . Аппроксимацией Паде типа ( п, т).ряда (1) (функции f) наз. рациональная функция , имеющая максимально возможный в классе Rn,m порядок касания с рядом (1) в точке z=0. Точнее, функция p п, т определяется условием

где s(j) индекс первого из отличных от нуля коэффициентов ряда

Функцию p п, т можно определить также как отношение p п, т=p/qлюбых многочленов , удовлетворяющих соотношениям

(2)

При фиксированных п, т существует единственная П. а. p п, т ряда (1). Таблица наз. таблицей Паде ряда (1). Последовательности вида наз. строками таблицы Паде (нулевая строка совпадает с последовательностью многочленов Тейлора для f); столбцами таблицы Паде; диагоналями таблицы Паде. Наиболее важный частный случай f=0 главная диагональ.

Вычисление функции p п, т сводится к решению системы линейных уравнений, коэффициенты к-рых выражаются через коэффициенты fk, k=0, l,. . ., n+m, заданного ряда. Если отличен от нуля определитель Ганкеля

то знаменатель q п, т функции p п, т определяется по формуле

(нормировка q п, т(0)=1; явная формула может быть написана и для числителя функции p п, т). При этом