Математическая энциклопедия - относительная гомологическая алгебра

гомологическая алгебра, ассоциированная с парой абелевых категорий и фиксированным функтором . Функтор предполагается аддитивным, точным и полным. Короткая точная после довательность объектов категории

наз. допустимой, если точная последовательность

расщепляется в категории . Посредством класса допустимых точных последовательностей определяется класс -проективных (соответственно -инъективных) объектов как класс таких объектов Р(соответственно Q), для к-рых функтор (соответственно ) точен на допустимых коротких точных последовательностях.

Любом проективный объект Ркатегории является -проективным, это не означает, однако, что и категории достаточно много относительно проективных объектов (т. е. что для любого объекта Аиз существует допустимый эпиморфизм нск-рого

проективного объекта категории ). Если в категории достаточно много -проективных или

инъективных объектов, то обычные конструкции гомологлч. алгебры позволяют строить в этой категории производные функторы, наз. относительными производными функторами.

П р и м е р ы. Пусть категория Д-модулей над ассоциативным кольцом R с единицей, категория множеств, функтор, "забывающий" структуру модуля. В этом случае все точные последовательности допустимы, и в результате получается "абсолютная" (т. е. обычная) гомологич. алгебра.

Если G группа, то каждый G-модуль является, в частности, абелевой группой. Если Нявляется алгеброй над коммутативным кольцом k, то каждый R-модуль, является k-модулем. Если Rи S - кольца и , то каждый R-модуль является S-модулем. Во всех этих случаях имеется функтор из одной абелевой категории в другую, определяющий относительные производные функторы.

Лит.:[1] Маклейн С., Гомология, пер. с англ., М., 1966; [2J EilenbergS., Moore J. С., Foundations of relative homological algebra, Providence, 1Я65.

В. Е. Говоров, А. В. Михалев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985