Математическая энциклопедия - относительная система корней

связной редуктивной алгебраической группы G, определенной над полем k,- система ненулевых весов присоединенного представления максимального k-расщепимого тора Sгруппы G в алгебре Ли g этой группы. Сами веса наз. корнями G относительно S. О. с. к. , рассматриваемая как подмножество своей линейной оболочки L в пространстве , где X (S) - группа рациональных характеров тора S, является корневой системой. Пусть N(S) - нормализатор, a Z(S).централизатор Sв G. Тогда Z(S).является связной компонентой единицы группы N(S);конечная группа наз. группой Вейля группы G над k, или относительной группой Вейля (о. г. В.). Присоединенное представление N(S) в g определяет линейное представление в L. Это представление является точным и его образ есть Вейля группа системы корней , что позволяет отождествить эти две группы. Ввиду сопряженности над kмаксимальных k-расщепимых торов в G О. с. к. и о. г. В. не зависят, с точностью до изоморфизма, от выбора тора Sи часто обозначаются просто и . В случае, когда G расщепима над k, О. с. к. и о. г. В. совпадают соответственно с обычной (абсолютной) системой корней и группой Вейля группы G. Пусть g а весовое относительно Sподпространство в , отвечающее корню . Если G расщепима над k, то для любого а и приведенная система корней; в общем случае это не так: может быть неприведенной, а может быть больше 1. О. с. к. неприводима, если G проста над k.

О. с. к. играет важную роль в описании структуры и в классификации полупростых алгебраич. групп над k. Пусть G полупроста и Т - максимальный тор, определенный над kи содержащий S. Пусть X(S).и X(Т) - группы рациональных характеров торов S и Т с фиксированными согласованными отношениями порядка, D -соответствующая система простых корней группы G относительно и D0подсистема в D, состоящая из характеров, тривиальных на S. Пусть также Dk-система простых корней в О. с. к. , определенная выбранным в X(S).отношением порядка; она состоит из сужений на Sхарактеров системы D. Группа Галуа естественно действует на Д, и набор данных {D, D0, действие Г на D} наз. k- индексом полупростой группы G. Роль k-индекса объясняется следующей теоремой: всякая полупростая группа над kоднозначно с точностью до k-изоморфизма определяется своим классом относительно изоморфизма над ks, своим k-индексом и своим анизотропным ядром. О. с. к. полностью определяется системой Dk и набором таких натуральных чисел (равных 1 или 2), что , но . В свою очередь, Dk и п a, , могут быть восстановлены по k-индексу. В частности, два элемента из имеют одно и то же ограничение на Sтогда и только тогда, когда они лежат в одной орбите группы Г; это определяет-биекцию между Dk и множеством орбит группы Г в

Если соответствующая орбита и D(g) любая связная компонента в , не все вершины к-poй лежат вD0, то ng есть сумма коэффициентов при корнях в разложении старшего корня системы D(g) по простым корням.

Если , то это О. с. к. естественно отождествляется с системой корней, а о. г. В.с группой Вейля соответствующего симметрич. пространства.

Лит.:[1] Титс Ж., "Математика", 1968, т. 12, Я" 2, с. ПО143; [2] Борель А., Титс Ж., там же, 1967, т. 11, № 1, с. 43-111; № 2, с. 3-31; [3] Tits J., "Ргос. of Symposia in pure math.", 1966, v. ft, p. 33-62 (AMS). В.