Математическая энциклопедия - относительности теория

физическая теория, рассматривающая пространственно-временные свойства физич. процессов. Эти свойства являются общими для всех физич. процессов, поэтому их часто наз. просто свойствами пространства-времени. Свойства пространства-времени зависят от полей тяготения, действующих в данной его области. Свойства пространства-времени при наличии полей тяготения исследуются в общей О. т., наз. также теорией тяготения. В частной (специальной)

О. т. рассматриваются свойства пространства-времени в том приближении, в к-ром эффектами, связанными с нолями тяготения, можно пренебречь. Ниже излагается частная О. т., об общей О. т. см. Тяготения теория, О. т. часто наз. также теорией относительности Эйнштейна по имени ее создателя А. Эйнштейна (см. [1], [2]).

Основные черты теории относительности. Специфические (релятивистские) аффекты, описываемые О. т. и отличающие ее от предшествующих физич. теории, проявляются при скоростях движения тел, близких к скорости света в вакууме см/сек. При таких скоростях, наз. релятивистскими, зависимость энергии Етела массы тот его скорости vописывается формулой

При скоростях v, много меньших с, формула (1) приобретает вид

Второй член справа в формуле (2) совпадает с формулой для кинетич. энергии в классич. механике, а первый член показывает, что покоящееся тело обладает энергией E=mc², наз. энергией покоя. В ядерных реакциях и процессах превращения элементарных частиц энергия покоя может переходить в кинетич. энергию частиц. Из формулы (1) вытекает, что энергия тел с ненулевой массой стремится к бесконечности при . Если , то скорость тела всегда меньше с. Частицы с m=0 (фотоны и нейтрино) всегда движутся со скоростью света. Иногда говорят, что при релятивистских скоростях масса тела начинает зависеть от его скорости, и величину

.

наз. массой движения тела, a m его массой покоя . Из формулы (1) следует, что

Скорость света в вакууме в О. т. является предельной скоростью, т. е. передача любых взаимодействий и сигналов из одной точки в другую происходит со скоростью, не превышающей скорости света.

Существование предельной скорости несовместимо с представлениями классич. механики и вызывает необходимость глубокой перестройки классич. пространственно-временных представлений.

Принцип относительности Эйнштейна и другие принципы инвариантности. В основе О. т. лежит принцип относительности, согласно к-рому любой физич. процесс протекает одинаково (при одинаковых начальных условиях) в изолированной материальной системе, находящейся в состоянии покоя по отношению к нек-рой произвольно выбранной инерциальной системе отсчета, и в такой же системе, находящейся в состоянии равномерного и прямолинейного движения относительно этой же инерциальной системы отсчета.

Справедливость принципа относительности означает, что различие между состоянием покоя и равномерного и прямолинейного движения не имеет физич. смысла. Говорят, что движущаяся система отсчета получается из системы отсчета, условно считающейся покоящейся, с помощью преобразования движения. Из принципа относительности вытекает, что физич. законы инвариантны относительно преобразований движения и имеют один и тот же вид во всех инерциальных системах отсчета.

Кроме принципа относительности, известны еще три типа преобразований, к-рые оставляют неизменным ход протекания физич. процессов: перенос (сдвиг) в пространстве, вращение в пространстве, перенос (сдвиг) во времени. Симметрии физич. законов относительно этих преобразований выполняются точно только в изолированных системах или им отвечают соответственно законы сохранения импульса, момента импульса и энергии.

Инерциольные системы отсчета и преобразования Лоренца. Инерциальные системы отсчета образуют в О. т. выделенный класс систем отсчета, в к-рых эффекты О. т. имеют наиболее простое описание.

Первичными понятиями О. т. являются понятия точечного события и светового сигнала. В данной инерциальной системе отсчета точечное событие можно характеризовать тремя пространственными координатами х, у, z в нек-рой декартовой системе координат и временной координатой t. Системы координат х, у,z, t в разных инерциальных системах отсчета связаны Лоренца преобразованиями. Из принципа относительности, условии симметрии и требования того, чтобы указанные преобразования образовывали группу, можно получить вид преобразовании Лоренца. Если инерциальная система отсчета L' движется относительно инерциальной системы отсчета Lсо скоростью Vтак, что оси хи х' совмещены и направлены по V, оси уи у' и z и z' соответственно параллельны, начала координат в Lи L^r совпадают в момент t=0 и часы в системе L' в начале координат показывают при t=0 время t'=0, то преобразования Лоренца имеют вид

Для получения всех преобразований Лоренца к преобразованиям (3) нужно добавить пространственные вращения вокруг начала координат. Преобразования Лоренца образуют группу, наз. группой Лоренца. Свойство инвариантности физич. законов при преобразованиях Лоренца наз. лоренц инвариантностью или релятивистской инвариантностью.

Из преобразований Лоренца вытекает релятивистский закон сложения скоростей. Если частица движется в инерциальпой системе отсчета L со скоростью vвдоль оси х, то скорость этой частицы в системе L' равна

Формула (4) показывает, что скорость света не зависит от скорости (4) движения источника света.

Из преобразований Лоренца вытекают также основные эффекты О. т.: относительность одновременности, замедление времени и сокращение продольных размеров тел. Так, события A и В, одновременные в системе L(t А=tB).и происходящие иразных точках ( х 1, у 1, z1).и( х 2, у 2, z2), оказываются неодновременными в L':

Далее, когда часы, покоящиеся в системе Lв точке (0, 0, 0), показывают время t, то время t' по часам в L', пространственно совпадающим с часами в L в этот момент, равно

Таким образом, с точки зрения наблюдателя в L' часы в Lотстают. Однако в силу принципа относительности с точки зрения наблюдателя в Lчасы в L' также отстают. Размеры тел, покоящихся в L (т. н. собственная длина), при измерении в L' оказываются уменьшенными в раз в направлении скорости Vсравнительно с размерами в L:

При малых скоростях р преобразования Лоренца (3) с точностью до величин, стремящихся к нулю при , совпадают с преобразованиями Галилея:

Эти преобразования соответствуют повседневному опыту, в к-ром не встречаются движения тел с релятивистскими скоростями. В частности, преобразования Галилея сохраняют пространственные размеры тел и длительности физич. процессов. Преобразования (5) и различные их комбинации с пространственными поворотами образуют т. н. группу Галилея. Важным отличием преобразований Лоренца от преобразований Галилея является то, что в формулу преобразования временной координаты tвходит пространственная координата х. В связи с этим в О. т. сформировалось представление, согласно к-рому пространственные п временные свойства физич. процессов нельзя рассматривать изолированно друг от друга. Это привело к возникновению понятия пространства-времени, т. е. объекта, геометрич. свойства к-рого определяют пространственные и временные свойства физич. процессов. В классич. механике Ньютона пространственные свойства физич. процессов определяются геометрич. свойствами трехмерного евклидова пространства, а временная переменная входит в уравнения как параметр. В частной О. т. адекватной моделью пространства-времени является четырехмерное псевдоевклидово пространство E⁴(1,3), наз. пространством Минковского. Формирование понятия пространства-времени открыло путь к геометризации аппарата О. т., значительно развитой при разработке общей О. т.

Математический аппарат теории относительности и геометрия пространства Минковского. При аксиоматич. описании О. т. аксиомы, фиксирующие свойства первичных понятий О. т. (точечного события и светового сигнала), удается вычленить из приведенного выше неформального описания основных положений О. т. Эта система аксиом дополняется естественными с физич. точки зрения аксиомами, гарантирующими существование достаточно большого числа событий и световых сигналов, а также нек-рыми аксиомами непрерывности на множестве световых сигналов и точечных событий. Иными словами, эти аксиомы гарантируют, что каждый набор чисел (t, х, у,z) определяет точечное событие. Получающаяся при таком расширении система аксиом О. т. оказывается эквивалентной системе аксиом пространства Минковского. Таким образом, пространство Минковского может служить моделью пространства-времени частной О. т. Точечное событие интерпретируется в рассматриваемой модели пространства-времени как точка в пространстве Минковского, в связи с чем точки последнего принято наз. мировыми точками.

Каждая прямоугольная система координат (t, x, y, z) в пространстве Минковского определяет нек-рую инерциальную систему отсчета, в связи с чем сами прямоугольные системы координат в О. т. принято наз. галилеевыми. Плоскость t=const пространства Минковского наз. пространственным сечением, соответствующим данной системе координат. Линейный элемент пространства Минковского в прямоугольной системе координат (t, x, y, z) может быть представлен в виде

Величину ds наз. элементом интервала, а величину

квадратом интервала. (В качестве модели пространства-времени частной О. т. можно использовать и псевдоевклидово пространство Е ⁴(3,1) с линейным элементом

Преобразования, образующие общую группу Лоренца, в рассматриваемой модели являются преобразованиями, связывающими две галилеевы системы координат в пространстве Минковского. Эти преобразования сохраняют интервал и являются аналогом ортогональных преобразований в евклидовой геометрии. В частности, преобразованиям Лоренца можно придать вид

где Y угол поворота в плоскости (ct, x), имеющей индефинитную метрику