Математическая энциклопедия - понтрягина двойственность

1) П. д.двойственность между абелевыми топологич. группами и их характеров группами. Теорема двойственности утверждает, что если G - локально компактная абелева группа и X(G) - ее группа характеров, то естественный гомоморфизм , переводящий в характер , заданный формулой

есть изоморфизм топологич. групп. Из этой теоремы выводятся следующие утверждения.

I. Если Нзамкнутая подгруппа в G и

ее аннулятор в X(G), то H совпадает с аннулятором

подгруппы H*; при этом группа X(H) естественно изоморфна X(G)/H*, а X(G/H) группе H*.

II. Если непрерывный гомоморфизм локально компактных абелевых групп, то после отождествления группы G с X(X(G)) и группы H с X(X(H)).при помощи изоморфизмов гомоморфизм (j*)* отождествляется с j.

III. Вес группы X(G).(как топологич. пространства) совпадает с весом группы G.

П. д. сопоставляет компактным группам Gдискретные группы X(G).и наоборот. При этом компактная группа Gметризуема тогда и только тогда, когда X(G).счетна, и связна тогда и только тогда, когда группа X(G).без кручения. Конечномерность компактной группы Gравносильна тому, что X(G).имеет конечный ранг (см. Ранг, абелевой группы). Конечномерная компактная группа Gлокально связна тогда и только тогда, когда X(G).конечно порождена. Если Gконечна, то П. д. совпадает с двойственностью конечных абелевых групп, рассматриваемой над полем комплексных чисел.

Топологич. группы, для к-рых верна теорема двойственности, наз. рефлексивными. Они не исчерпываются локально компактными группами, т. к. любое банахово пространство, рассматриваемое как топологич. группа, рефлексивно [8]. О характеризации рефлексивных групп см. [9].

Аналог П. д. известен и для некоммутативных групп (теорема двойственности Танака К р е и и а) (см. [4], [6], [7]). Пусть G - компактная топологич. группа, R - алгебра комплекснозначных представляющих функций на G, S(R) - множество всех ненулевых гомоморфизмов алгебр , удовлетворяющих условию . В S(R).определяется умножение , удовлетворяющее следующему условию: если неприводимое непрерывное унитарное представление группы G и rij(g) - его матричные элементы, то

Это умножение и естественная топология превращают S(R).в топологич. группу. Каждому отвечает гомоморфизм , задаваемый формулой

Тогда соответствие gag есть изоморфизм топологич. группы G на S(R). Дано также алгебраич. описание категории алгебр R, к-рая оказывается, таким образом, двойственной категории компактных топологич. групп. Эта теория допускает обобщение на случай однородных пространств компактных топологич. групп (см. [4]).

Лит.:[1] Понтрягин Л. С., "Ann. Math.", 1934, v. За, №2, р. 301-88 (рус. пер."Успехи матем. наук", 1936, в. 2, с. 177-95); [2] его же, Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; [3] Кamреn Е. van, "Ann. Math.", 1935 v. 36, p. 448-63; [4] Крейн М. Г., "Укр. матем. ж.", 1949, т. 1, № 4, с. 64-98; 1950, т. 2, № 1, с. 10-59; [5] Моррис С., Двойственность Понтрягина и строение локально компактных абелевых групп, пер. с англ., М., 1980; [6] Наймарк М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968; [7] Хьюитт Э., Росс К., Абстрактный гармонический анализ, пер. с англ., т. 2, М., 1975; [8] Smith M. P., "Ann. Math.", 1952, v. 56, №2, p. 248-53; [9] Venkataraman H., "Math. Z.", 1976, Bd 149, H. 2, S. 109 19. А. Л. Онищик.