Математическая энциклопедия - понтрягина инвариант

инвариант оснащенных перестроек поверхности с заданным на ней оснащением. Пусть ( М ², U) - замкнутая ориентируемая поверхность с n-мерным оснащением Uв Sⁿ⁺², т. е. тривиализацией нормального га-мерного расслоения над поверхностью М ² в Sⁿ+². Любой элемент ( М ², ). может быть реализован гладко иммерсированной окружностью с самопересечениями, к-рые являются только двойными и трансверсальными. Пусть выбрана и зафиксирована нек-рая ориентация окружности S¹;пусть и 1 (у), u2(y), ... , и п (у) - ортогональные векторы, возникающие из оснащения U, ограниченного на точку вектор, касательный в точке f(у).к кривой C=f(y), согласно выбранной ориентации S¹; un+1(y).вектор, касательный к М ² в точке f(y), ортогональный и п+2 (у). и направленный так, что последовательность векторов и 1 (у), ... , и n (у), un+1(y), и п+2 (у).дает стандартную ориентацию сферы Sⁿ+². Возникающее отображение задает элемент из группы n1(SOn+2), к-рая при изоморфна . Пусть b=0, если hгомотопно нулю, и b=1, если h не гомотопно нулю, и пусть значение функции Ф 0 : H1(M², ) равно сумме по mod 2 числа двойных точек кривой С, реализующей элемент z, и числа b, определенного по кривой С. Так, определенное значение Ф 0(z) зависит только от гомология, класса z, и функция Ф 0(z) удовлетворяет следующему условию:

где форма пересечений одномерных гомологии поверхности М ². аrf-инвариант функции Ф 0 и наз. инвариантом Понтрягина пары ( М ², U). Пара ( М ², U).оснащение перестраивается до пары (S², U).тогда и только тогда, когда П. и. пары (M², U).равен нулю (теорема Понтрягина).

П. и. может быть реализован (n+2 )-мерным оснащением на торе, , и является единственным инвариантом двумерных оснащенных кобордизмов. П. и. задает изоморфизм

Лит.:[1] Понтрягин Л. С., Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, 2 изд., М., 1976.

М. А. Штанько.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985