Математическая энциклопедия - рама теорема

д е Р а м а т е о р е м а,теорема, выражающая вещественные когомологии дифференцируемого многообразия Мпри помощи комплекса дифференциальных форм на М. Если комплекс де Рама многообразия М, где пространство всех бесконечно дифференцируемых р-форм на М, снабженный внешним дифференциалом, то Р. т. устанавливает изоморфизм между градуированными алгебрами когомологий Н*( Е* (М)).комплекса Е* (М).и когомологий многообразия Мсо значениями в . Явная интерпретация этого изоморфизма состоит в том, что каждой замкнутой р-форме w сопоставляется линейная форма на пространстве р-мерных сингулярных циклов g в М.

Р. т. впервые была установлена Ж. де Рамом [1], хотя идея связи между когомологиями и дифференциальными формами восходит к А. Пуанкаре (Н. Poincare).

Существует ряд вариантов Р. т. Напр., когомологии комплекса с компактными носителями изоморфны алгебре вещественных когомологий многообразия М с компактными носителями. Когомологий многообразия М со значениями в локально постоянном пучке векторных пространств изоморфны когомологиям комплекса дифференциальных форм со значениями в соответствующем плоском векторном расслоении [3]. Когомологий симплициального множества Sсо значениями в любом поле kхарактеристики 0 изоморфны когомологиям соответствующего полиномиального комплекса де Рама над k. В случае, когда S - сингулярный комплекс произвольного топологич. пространства X, получают таким образом градуированно-коммутативную дифференциальную градуированную k-алгебру , алгебра когомологий к-рой изоморфна алгебре сингулярных когомологий Н*(X,k).(см. [4]). Если X- гладкое аффинное алгебраич. многообразие над , то когомологии изоморфны когомологиям комплекса регулярных дифференциальных форм на М(см. Рама когомологии).

Лит.:[1] R h a m J. de, "J. math. pures et appl. 9 ser.", 1931, t. 10, p. 115-200; [2] P а м Ж. д е, Дифференцируемые многообразия, пер. с франц., М., 1956; [3] Р а г у н а т а н М., Дискретные подгруппы групп Ли, пер. с англ., М., 1977; [4] Гомотопическая теория дифференциальных форм, пер. с англ. и Франц., М., 1981. А. Л. Онищик.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985