Математическая энциклопедия - равномерная подгруппа

локально компактной топологической группы G - такая замкнутая подгруппа , что фактор-пространство G/H компактно. С понятием Р. п. близко связано понятие квазиравномерной подгруппы в G, т. е. такой замкнутой подгруппы H в G, для к-рой на G/H существует G-инвариантная мера Напр., подгруппа SL2(Z).группы SL2(R).квазиравномерна, но не равномерна в ней. С другой стороны, подгруппа Твсех верхнетреугольных матриц из SL2(R) Р. п. в SL2(R), не являющаяся квазиравномерной (на факторпространстве SL2(R)/T нет SL2 (R)-инвариантных мер). Однако всякая связная квазиравномерная подгруппа в группе Ли Gявляется Р. п. (см. [1]), а всякая дискретная Р. п. в G квазиравномерна [2]. (О дискретных Р. п. в группах Ли см. Дискретная подгруппа.). Если G - связная группа Ли и Н - Р. п. в G, то нормализатор NG(H⁰).в G связной компоненты единицы Н ⁰ группы Нсодержит максимальную связную треугольную подгруппу группы G (см. [3]). Алгебраич. подгруппа Нсвязной алгебраической комплексной линейной группы Ли G тогда и только тогда является Р. п., когда Н - параболич. подгруппа в G. Описаны все связные Р. п. в полупростых группах Ли (см. [4]). Недискретная Р. п. Нсвязной полупростой группы Ли G обладает свойством сильной жесткости (см. [5]), к-рое состоит в том, что в Gимеется конечное число таких подгрупп Hi, i= 1,. . ., т, что любая подгруппа , изоморфная Н, сопряжена одной из подгрупп Hi. Важные примеры равномерных и квазиравномерных подгрупп строятся следующим образом. Пусть G линейная алгебраич. группа, определенная над полем рациональных чисел Q, GAее группа аделей и подгруппа главных аделей. Тогда GQ --'дискретная подгруппа в GA, причем GQ является Р. п. в GA тогда и только тогда, когда 1) У группы G нет нетривиальных рациональных характеров, определенных над полем Q, и 2) все унипотентные элементы группы GQ принадлежат ее радикалу (см. [6], [7]). В частности, если G - унипотентная алгебраич. группа, определенная над Q, то GQ есть Р. п. в GA. Условие 1) является необходимым и достаточным для квазиравномерности GQ в GA.

Лит.:[1] Моstоw G. D., "Ann. Math.", 1962, v. 75, № 1, p. 17-37; [2] Pагунатан М., Дискретные подгруппы групп Ли, пер. с англ., М., 1977; [3] Онищик А. Л., "Матем. сб.", 1966, т. 71, № 4, с. 483-94; [4] его же, там же, 1967, т. 74, А'" 3, о. 398-416; [5] Gоtо М., Wang H.С., "Math. Ann.", 1972, Bd 198, Н. 4, S. 259-86; [6] Борель А.,"Математика", 1964, т. 8, JN" 2, с. 73-75; [7] Моstоw G. D., Тamagawа Т., "Ann. Math.", 1962, v. 76, № 3, p. 446-63.

В. Л. Попов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985