Математическая энциклопедия - равномерная сходимость

последовательности функций (отображений) свойство последовательности , где Xпроизвольное множество, Y - метрич. пространство, n=1,2,..., к функции (отображению) , означающее, что для любого e>0 существует такой номер п e , что для всех номеров п>ne и всех точек выполняется неравенство

Это условие равносильно тому, что

Чтобы последовательность {fn} равномерно сходилась на множестве Xк функции f, необходимо и достаточно, чтобы нашлась такая числовая последовательность {an}, что и существовал такой номер n0, что для всех n>n0 и всех выполнялось неравенство

Пример. Последовательность fn(x)=xⁿ, п=1,2,..., равномерно сходится на любом отрезке [0, а], 0<а<1 и не сходится равномерно на отрезке [0, 1].

Необходимое и достаточное условие Р. с. последовательности функций без использования понятия предельной функции дает Ноши критерий равномерной сходимости.

Свойства равномерно сходящихся последовательностей.

1. Если Y - линейное нормированное пространство и последовательности отображений и , n=1, 2,. . ., равномерно сходятся на множестве X, то при любых и последовательность {lfn+mgn} также равномерно сходится на X.

2. Если Y - линейное нормированное кольцо, последовательность отображений , 2,. . ., равномерно сходится на множестве Xи g: XY - ограниченное отображение, то последовательность {gfn} также равномерно сходится на X.

3. Если X - топологич. пространство, Y - метрич. пространство и последовательность непрерывных в точке отображений равномерно на множестве Xсходится к отображению , то это отображение также непрерывно в точке x0, то есть

Условие равномерной сходимости последовательности {fn} на Xявляется в этом утверждении существенным в том смысле, что существуют даже последовательности числовых непрерывных на отрезке функций, сходящиеся во всех его точках к функции, не являющейся непрерывной на рассматриваемом отрезке. Примером такой последовательности является fn(x)=xⁿ, n=1,2,. . ., на отрезке [0, 1]. Р. с. последовательности непрерывных функций не есть необходимое условие непрерывности предельной функции. Однако если множество Xкомпакт, Yмножество действительных чисел , последовательность непрерывных функций во всех точках одновременно возрастает или убывает и имеет конечный предел,

то для того, чтобы функция f была непрерывной на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы последовательность {fn} сходилась равномерно на этом множестве. Необходимые и одновременно достаточные условия для непрерывности предела последовательности непрерывных функций в общем случае даются в терминах квазиравномерной сходимости последовательности.

4. Если последовательность интегрируемых по Риману (по Лебегу) функций , n=1,2,. . ., равномерно на отрезке [ а, b], сходится к функции , то эта функция также интегрируема по Риману (соответственно по Лебегу), и для любого имеет место равенство

(*)

и сходимость последовательности на отрезке [ а, b]к функции равномерна. Формула (*) обобщается на случай Стилтьеса интеграла. Если же последовательность интегрируемых на отрезке [ а, b]функций fn, п=1, 2, . . ., просто сходится в каждой точке этого отрезка к интегрируемой же на нем функции f, то формула (*) может не иметь места.

5. Если последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке [ а, b]функций , п=1, 2,. . ., сходится в нек-рой точке , а последовательность их производных равномерно сходится на [ а, b], то последовательность {fn} также равномерно сходится на отрезке [ а, b], ее предел является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке функцией и

Пусть X - произвольное множество, а Y метрич. пространство. Семейство функций (отображений) fa:Х Y,, где топологич. пространство, наз. равномерно сходящимся при к функции (отображению) , если для любого e>0 существует такая окрестность U(a0) точки a0, что для всех и всех выполняется неравенство

Для равномерно сходящихся семейств функций имеют место свойства, аналогичные указанным выше свойствам Р. с. последовательностей функций.

Понятие Р. с. отображений обобщается на случай, когда Y равномерное пространство, в частности, когда Y топологич. группа.

Лит.:[1] Александров П. С., Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977; [2] Колмогорова. Н., ФоминС. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981; [3] Келли Д ж. Л., Общая топология, пер. с англ., 2 изд., М., 1981.

Л. Д. Кудрявцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985