Математическая энциклопедия - равномерная устойчивость

устойчивость по Ляпунову, равномерная относительно начального момента. Решение , системы дифференциальных уравнений

наз. равномерно устойчивым, если для всякого e>0 найдется d>0 такое, что для всякого и всякого решения х(t).той же системы, удовлетворяющих неравенству

выполнено неравенство

для всех

Устойчивая по Ляпунову неподвижная точка автономной системы дифференциальных уравнений , , равномерно устойчива, по устойчивое по Ляпунову решение, вообще говоря, может не быть равномерно устойчивым. Напр., решение , уравнения

(1)

при каждом устойчиво, но не равномерно устойчиво.

Пусть дана линейная система дифференциальных уравнений

(2)

где А(^.) суммируемое на каждом отрезке отображение .

Для того чтобы решение x=0 системы (2) было равномерно устойчивым, необходимо, чтобы верхний особый показатель W⁰ (А).системы (2) был меньше или равен нулю. Напр., случае уравнения (1) верхний особый показатель W⁰(A)=1-a, а Ляпунова характеристический показатель . Для существования d>0 такого, чтобы решение x=0 всякой системы

удовлетворяющей условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши и условию |g(t,x)|<d^.|x|, было равномерно устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы верхний особый показатель W⁰(A). системы (2) был меньше нуля.

Лит.:[1] Персидский К., "Матем. сб.", 1933, т. 40, N5 3, с. 284-93; [2] Демидович Б. П., Лекции по математической теории устойчивости, М., 1967; [3] Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г., Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М., 1970.

В. М. Миллионщиков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985