Математическая энциклопедия - рефлективная подкатегория

подкатегория, содержащая "наибольшую" модель любого объекта категории. Точнее, полная подкатегория категории

наз. р е ф л е к т и в н о й, если содержит -рефлектор (см. Рефлектор).для любого объекта категории. Полная подкатегория категории рефлективна тогда и только тогда, когда функтор вложения обладает сопряженным слева функтором Функтор Sсопоставляет каждому объекту Аиз его -рефлектор S(А);морфизмы , входящие в определение -рефлектора, определяют естественное преобразование тождественного функтора в композицию функторов . Двойственным к понятию Р. п. является понятие корефлективной подкатегории

Р. п. наследует многие свойства объемлющей категории . Напр., морфизм тогда и только тогда является мономорфизмом в , когда он мономорфизм в . Поэтому всякая Р. п. локально малой слева категории локально мала слева. Р. п. обладает произведениями тех семейств объектов, для к-рых произведение существует в самой категории, при этом оба произведения оказываются изоморфными. То же самое справедливо и для любых пределов. С другой стороны, функтор Sпереводит копределы из в копределы в . Поэтому Р. п. полной (слева) категории является полной (слева) категорией.

Пусть полная локально малая категория. Всякая полная подкатегория категории , замкнутая относительно произведений и подобъектов своих объектов и содержащая правый нуль, является Р. п. В частности, всякое многообразие категории есть Р. п.

-рефлектор произвольного объекта Астроится следующим образом. Выбираются представители , , таких факторобъектов объекта А, что П роизведение

принадлежит , и -рефлектор S(A)является образом однозначно определенного морфизма , для к-рого

П р и м е р ы. 1) Пусть R - область целостности. Полная подкатегория инъективных модулей без кручения является Р. п. категории R-модулей без кручения: рефлекторами являются инъективные оболочки модулей. В частности, подкатегория полных абелевых групп без кручения есть Р. п. категории абелевых групп без кручения.

2) Полная подкатегория нормальных топологич. пространств есть Р. п. категории вполне регулярных топологич. пространств: рефлекторы строятся с помощью компактификации Чеха.

3) Полная подкатегория пучков есть Р. п. категории предпучков: рефлекторы определяются функтором ассоциированного пучка. М. Ш. Цаленко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985