Математическая энциклопедия - самоинъективное кольцо

л е в о е кольцо, инъективное как левый модуль над собой. Симметричным образом определяется п р а в о е С. к. Классически полупростые кольца и все кольца вычетов суть С. к. Если R С. к. с радикалом Джекобсона J, то факторкольцо R/J регулярно в смысле Неймана (см. Регулярное кольцо). Регулярное С. к. непрерывно. Всякое счетное С. к. квазифробениусово. Левое С. к. может не быть правым С. к. Кольцо матриц над С. к. и полное кольцо линейных преобразований векторного пространства над телом самоинъективны. Кольца эндоморфизмов всех свободных левых R-модулей являются С. к. тогда и только тогда, когда Rквазифробениусово. Если М - кообразующий категории левых R-модулей, то EndR М есть С. к. Если сингулярный идеал кольца R равен нулю, то его инъективная оболочка естественным образом превращается в С. к. Групповое кольцо RG самоинъективно слева тогда и только тогда, когда R есть С. к., а группа Gконечна. Прямое произведение самоинъективных колец самоинъективно. Кольцо R изоморфно прямому произведению полных колец линейных преобразований над телами в том и только в том случае, когда R левое С. к. без нильпотентных идеалов, каждый ненулевой левый идеал к-рого содержит минимальный левый идеал.

Лит.:[1] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 14, М., 1976, с .57-190; [2] Ф е й с К., Алгебра: кольца, модули и категории, пер. с англ., т. 1-2, М., 1977-79; [3] L a w r e n c e J., "Proc. Amer. Math. Soc.", 1977, v. 65, № 2, p. 217-20. Л. А. Скорняков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985