Математическая энциклопедия - случайное поле однородное

случайное поле X(s), заданное на однородном пространстве S = {s} точек s, снабженном транзитивной группой G={g} преобразований, переводящих пространство Sв себя, и обладающее тем свойством, что определенные статистич. характеристики значений этого поля не меняются при применении к аргументам s произвольного преобразования группы G. Различают два разных класса С. п. о.: поле X(s)наз. С. п. о. в узком смысл е, если при любых n=1,2, ... и конечномерное распределение вероятностей значений поля в произвольных . точках s1, . . ., sn совпадает с распределением вероятностей значений того же поля в точках gs1, . . ., gsn; если же и при всех то X(s)наз. С. п. о. в широком смысле.

Важный частный случай С. п. о. на евклидовом k-мерном пространстве R^k (или на решетке Z^k точек R^k с целочисленными координатами), отвечающее выбору группы всевозможных параллельных переносов в качестве группы G; иногда под С. п. о. вообще понимают лишь поле этого последнего типа. С. п. о. на R^k, отвечающее группе G всевозможных изометрич. преобразований R^k (порожденных параллельными переносами, вращениями и симмотриями), часто наз. однородным и изотропным случайным полем.

Понятие С. п. о. представляет собой естественное обобщение понятия стационарного случайного процесса;как и в случае стационарного процесса и само С. п. о., и его ковариационная функция допускают спектральное разложение специального вида (см., напр., [1] [3]). С. п. о. и нек-рые их обобщения часто возникают в различных прикладных вопросах. В частности, в статистич. теории турбулентности важную роль играют как однородные и изотропные случайные поля на R^k (скалярные и векторные), так и т. н. локально однородные и локально изотропные случайные поля (иначе поля с однородными и изотропными приращениями), представляющие собой простое обобщение однородных и изотропных полей (см., напр., [4]), а в современной теории физических квантовых полей и в статистич. физике применяется теория обобщенных С. п. о., также включающих С. п. о. в качестве частного случая (см. Случайное поле обобщенное).

Лит.:[1] Yag1оm А. М., в кн.: Рrос. 4-th Berkeley Symp. Math. Stal. and Proh., v. 2, Berk.-Los Ang., 1961, p. 593-622; [2] Xeннан Э., Представления групп и прикладная теория вероятностей, пер. с англ., М., 1970; [3] Ядренко М. И., Спектральная теория случайных полей. К., 1980; [4] Монин А. С., Яглом А. М., Статистическая гидромеханика, ч. 2, М., 1967.

А. М. Яглом.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985