Математическая энциклопедия - случайный точечный процесс

случайный процесс, соответствующий на прямой последовательности случайных величин Каждому значению t;ставится в соответствие случайная величина Ф{ti}=1, 2, . . ., называемая кратностью. В теории массового обслуживания С. т. п. порождается моментами поступления заявок на обслуживание, в биологии моментами импульсов в нервных волокнах и т. п.

Пусть X - полное сепарабельное метрич. пространство, класс ограниченных борелевских множеств совокупность мер, принимающая целые значения, минимальная алгебра, порожденная подмножествами мер l=0,1, 2, ... Задание вероятностной меры Р в измеримом пространстве определяет С. т. п. Ф с фазовым пространством X, реализациями к-рого являются целозначные меры из N. Значения , для к-рых Ф{х}>0, наз. точками С. т. п. Величина Ф(В)равна сумме кратностей точек С. т. п., попавших в В. С. т. п. Ф наз. простым, если Ф{х}1 для любого С. т. п. наз. ординарным, если для любых и >0 найдется такое разбиение = (z1, . . ., zn) множества В, что

Ординарные С. т. п. являются простыми. Важную роль играют факториальные моментные меры

и их обобщения (E р - математич. ожидание, наз. мерой интенсивностей). Если , то

Особую роль в теории С. т. п. играют пуассонопскмя С. т. п. Ф, для к-рых: а) значения Ф (Bi) на непересекающихся являются взаимно независимыми случайными величинами (свойство отсутствия последействия), б)

Для простого С. т. п.

где inf берется по всем разбиениям множества В. Соотношение (*) дает возможность находить явные выражения меры интенсивностей для многих классов С. т. п., порожденных случайными процессами или полями.

Обобщением С. т. п. являются т. н. маркированные С. т. п., в к-рых точкам х, Ф{x}>0, сопоставляются метки k(x)из нек-рого измеримого пространства Продолжительности обслуживания заявок, поступающих в систему массового обслуживания, можно рассматривать как метки.

В теории С. т. п. важное значение имеют соотношения, связывающие специальным образом заданные условные вероятности различных событий (пальмовские вероятности). Получены предельные теоремы для суперпозиции (суммирования), прореживания и др. операций над последовательностями С. т. п. В приложениях широко используются различные обобщения пуассоновских С. т. п.

Лит.:[1] Xинчин А. Я., Работы по математической теории массового обслуживания, М., 1963; [2] Сoх D. R., Isham V., Point processes, L., 1980; [3] Керстан Й., Маттес К., Мекке Й., Безгранично делимые точечные процессы, пер. с англ., М., 1982; [4] Беляев Ю. К., Элементы обшей теории случайных процессов, в кн.: Крамер Г., Лидбеттер М., Стационарные случайные процессы, пер. с англ., М., 1969, с. 358-72.

Ю. К. Беляев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985