Математическая энциклопедия - свободная авелева группа

группа, свободная в многообразии всех абелевых групп (см. Свободная алгебра). Прямые суммы (в конечном или бесконечном числе) бесконечных циклич. групп и только они являются свободными группами в классе абелевых групп. При этом совокупность образующих элементов всех циклич. прямых слагаемых служит системой свободных образующих (называемой также б а з о й) С. а. г. Не всякая максимальная линейно независимая система элементов С. а. г. служит для нее базой. С. а. г. изоморфны тогда и только тогда, когда их базы равномощны. Мощность базы С. а. г. совпадает с рангом Прюфера этой группы. Всякая подгруппа С. а. г., отличная от нулевой, сама свободна. Абелева группа свободна тогда и только тогда, когда она обладает возрастающим рядом подгрупп (см. Подгрупп ряд), каждый фактор к-рого изоморфен бесконечной циклич. группе.

Лит.:[1] К у р о ш А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; [2] К а р г а п о л о в М. И., М е р з л я к о в Ю. И., Основы теории групп, 3 изд., М., 1982. О. А. Иванова.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985