Математическая энциклопедия - свободная переменная

свободное вхождение переменной,вхождение переменной в языковое выражение, являющееся параметром этого выражения. Строгое определение этого понятия может быть дано только для формализованного языка. Для каждого языка дается свое определение С. п., зависящее от правил образования выражений данного языка. Семантич. критерием здесь служит следующее требование: подстановка какого-либо объекта из подразумеваемой интерпретации на место данного вхождения переменной не должна приводить к бессмысленному выражению. Напр., в выражении , обозначающем множество точек окружности радиуса z, переменная z входит свободно, а переменные хи унет (см. Связанная переменная). Если f обозначает отображение вида и переменные х, у пробегают множества X, Y соответственно, то в выражении f( х, у )переменные х и у свободны (так же, как и f, если f рассматривать как переменную по функциям). При фиксировании хи варьировании уполучается функция вида . Она обозначается через lyf( х, у). В этом выражении хсвободно, а унет. В выражении (lyf( х, у ))(у), обозначающем значение функции lyf( х, у )в произвольной точке у, последнее вхождение переменной убудет свободным. Два других вхождения пе являются свободными. Первое наз. о п е р а т о р н ы м (находящимся под знаком оператора), второе с в яз а н н ы м.

Для неформализованных языков, т. е. в реальных математич. текстах, у отдельно взятого выражения не всегда можно определенно выяснить какие переменные у него свободны, а какие связанны. Напр., в выражении в зависимости от контекста переменная i может быть свободной, а k связанной или наоборот, но обе свободными быть не могут. Указание на то, какая переменная считается свободной, дается с помощью дополнительных средств. Напр., если это выражение встречается в контексте вида , то k свободна. Иногда принимают соглашение, что по k суммирование производиться не будет; тогда k это параметр. Выражение { а i}, часто используемое в математике, обозначает иногда одноэлементное множество, и тогда переменная iвходит свободно; а иногда оно обозначает множество всех а i, когда iпробегает отведенную ему область предметов, и тогда переменная i входит связанно. В. Н. Гришин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985