Математическая энциклопедия - свободное гармоническое колебание

синусоидальное колебание. Если механическая или фи-зич. величина х(t), где t время, меняется по закону

(1)

то говорят, что х(t)совершает С. г. к. Здесь А,w, j действительные постоянные, А> 0, w > 0. Величины А,w, j наз. соответственно амплитудой, частотой, фазой С. г. к. П е р и о д С. г. к. равен

T=2p/w. В физике и технике часто употребляется такая терминология: С. г. к. наз. гармоническим колебанием, или простым гармоническим колебанием, функция вида (1) наз. гармоникой, переменная величина wt+j наз. мгновенной фазой, а постоянная j начальной фазой. Величина w наз. также круговой, или циклической, частотой, а f=w/2pчастотой. С. г. к. (1) можно записать в виде

где а, b и А,j связаны соотношениями

или в виде

Часто фазой наз. не j, а -j.

Малые колебания механических или физич. систем с одной степенью свободы вблизи устойчивого невырожденного положения равновесия представляют собой С. г. к. с большой степенью точности. Таковы, напр., малые колебания маятника; колебания груза, подвешенного на пружинке; колебания камертона; изменение напряжения и силы тока в электрическом колебательном контуре; качка корабля и т. д. Система, совершающая С. г. к., наз. линейным г а р м о н и ч е с к и м о с ц и л л я т о р о м, и ее колебания описываются уравнением

Для математич. маятника длины lи массы т:w²=g/l, для груза массы тна пружинке с коэффициентом упругости k:w²=k/m; для электрического колебательного контура, состоящего из емкости Си индуктивности L : w²=1/ СL. На фазовой плоскости положение равновесия для С. г. к. есть центр, а фазовые траектории окружности.

Сумма двух С. г. к. х 1(t)+х 2(t),

где

с соизмеримыми частотами w1,w2 есть С. г. к. Если же частоты w1, w2 несоизмеримы, то х 1(t)+x2(t)есть почти периодическая функция и

Сумма n С. г. к. с частотами w1,. . ., wn, к-рые рационально независимы, также есть почти периодич. функция. Для суммы двух С. г. к. величина наз. р а с с т р о й к о й. Если расстройка мала: одного порядка, то

"Амплитуда" А(t)-медленно меняющаяся функция, имеющая период , и А ²(t)меняется в пределах от (А 1 -А2)² до (A1+A2)². Колебание х 1(t)+х2(t)наз. б и е н и е м: "амплитуда" А(t)поочередно увеличивается и уменьшается. Этот случай важен для анализа приемных устройств.

Пусть имеется система из пуравнений:

где М, K - действительные симметрические положительно определенные матрицы с постоянными элементами. С помощью ортогонального преобразования

хТу эта система приводится к распадающейся системе:

Координаты у 1, . . ., у п наз. н о р м а л ь н ы м и. В нормальных координатах х(t)есть векторная сумма С. г. к. вдоль координатных осей.

Лит.:[1] А н д р о н о в А. А., В и т т А. А., X а й к и н С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М.,1981; [2] Гор е л и к Г. С., Колебания и волны, М., 1959; [3] Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Механика, 3 изд., т. 1, М., 1973.

М. В. Федорюк.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985