Математическая энциклопедия - тензорная алгебра

1) Раздел тензорного исчисления, в к-ром изучаются алгебраич. операции над тензорами.

2) Т. а. унитарного модуля Vнад коммутативно-ассоциативным кольцом А с единицей алгебра Т(V) над A, модуль к-рой имеет вид

а умножение определяется при пoмощи умножения тензоров. Наряду с контравариантной Т. а., рассматривают также ковариантную Т. а.

и смешанную Т. а.

Если модуль V свободен и конечно порожден, то Т(V* )естественно изоморфна алгебре всех полилинейных форм на V. Любой гомоморфизм А-модулей естественным образом определяет гомоморфизм Т. а.

Т. а. Т(V)ассоциативна, но, вообще говоря, не коммутативна. Ее единицей является единица кольца A = T⁰(V). Любое А-линейное отображение модуля Vв ассоциативную А-алгебру Вс единицей единственным образом продолжается до гомоморфизма алгебр переводящего единицу в единицу. Если V - свободный модуль с базисом то Т(V)есть свободная ассоциативная алгебра с системой образующих

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962; [2] Кострикин А. И., Манин Ю. И., Линейная алгебра и геометрия, М., 1980.

А. Л. Онищик.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985