Математическая энциклопедия - тензорный анализ

обобщение векторного анализа, раздел тензорного исчисления, изучающий дифференциальные операторы, действующие на алгебре тензорных полей D(М)дифференцируемого многообразия М. Рассматриваются также операторы, действующие на более общие, чем тензорные поля, геометрич. объекты: тензорные плотности, дифференциальные формы со значениями в векторном расслоении и т. д.

Наибольший интерес представляют операторы, действие к-рых не выводит за пределы алгебры D(М).

1) Ковариантная производная вдоль векторного поля X - линейное отображение пространства векторных полей D¹ (М)многообразия М, зависящее от векторного поля Xи удовлетворяющее условиям:

где гладкие функции на М. Определяемые этим оператором связность Ги параллельное перенесение позволяют распространить действие ковариантной производной до линейного отображения алгебры D(М) в себя; при этом отображение есть дифференцирование, сохраняет тип тензорного поля и перестановочно со сверткой.

В локальных координатах и ¹, и², . . ., и ⁿ ковариантная производная тензора с компонентами относительно вектора определяется так:

объект связности Г. 2) Ли производная вдоль векторного поля X - отображение LX пространства D'(M), определяемое формулой где [X, Y] - коммутатор векторных полей X, Y. Этот оператор также однозначно продолжается до дифференцирования D(M), сохраняет тип тензоров и перестановочен со сверткой. В локальных координатах производная Ли тензора

выражается так:

3) Внешний дифференциал (внешняя производная) линейный оператор d, сопоставляющий внешней дифференциальной форме (кососимметричному ковариант-ному тензору) степени рформу такого же вида и степени р+1, удовлетворяющий условиям:

где символ внешнего произведения, r - степень В локальных координатах внешняя производная тензора выражается так:

Оператор dобобщение оператора rot.

4) Кривизны тензор симметричного невырожденного дважды ковариантного тензора gij представляет собой действие нек-рого нелинейного оператора R:

где

Лит.:[1] Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [2] Схоутен Я.-А., Тензорный анализ для физиков, пер. с англ., М., 1965; [3] Мак-Коннел А.