Математическая энциклопедия - тензорное расслоение

типа ( р, q )надифференцируемом многообразии М - векторное расслоение Т ^p,q (М)над М, ассоциированное с расслоением касательных реперов и имеющее в качестве стандартного слоя пространство тензоров типа ( р, q )на в к-ром группа действует при помощи тензорного представления. Напр., Т ^1,0 (М)совпадает с касательным расслоением Т (М)над М, а T^0,1 (М) - скокасательным расслоением Т(М)*. В общем случае Т. р. изоморфно тензорному произведению касательных и кокасательных расслоений:

Сечения Т. р. типа ( р, q )наз. тензорными полями типа ( р, q )и являются основным объектом исследования дифференциальной геометрии. Напр., риманова структура на М - это гладкое сечение расслоения T^0,2 (М), значения к-рого являются положительно определенными симметрич. формами. Гладкие сечения расслоения Т ^р,q (М)образуют модуль D^p,q(M)над алгеброй гладких функций на М. Если М - паракомпактное хаусдорфово многообразие, то

где D¹(M)=D¹'⁰ (М)модуль гладких векторных полей, D^l (М)* = D^0,1 (М) - модуль пфаффовых дифференциальных форм, а тензорные произведения берутся над В классической дифференциальной геометрии тензорные поля иногда наз. просто тензорамина М.

Лит.:[1] Кобаяси Ш., Номидзу К., Основы дифференциальной геометрии, т. 1, пер. с англ., М., 1981; [2] Xелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964.

А. Л. Онищик.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985