Математическая энциклопедия - трехмерное многообразие

топологическое пространство, каждая точка к-рого имеет окрестность, гомеоморфную трехмерному числовому пространству или замкнутому полупространству Это определение обычно дополняют требованием того, чтобы Т. м. как топологич. пространство, было хаусдорфовым и имело счетную базу. Край Т. м., т. е. совокупность его точек, имеющих окрестность второго, но не первого типа, является двумерным многообразием без края. Методы топологии Т. м. весьма специфичны, поэтому она занимает особое место в топологии многообразий.

Примеры. Несколько свойств Т. м., не имеющих, вообще говоря, места в старших размерностях: ориентируемое Т. м. всегда параллелизуемо; замкнутое Т. м. ограничивает нек-рое четырехмерное многообразие; на Т. м. всегда можно ввести кусочно линейную и дифференцируемую структуры, причем любой гомеоморфизм между двумя Т. м. можно аппроксимировать как кусочно линейным гомеоморфизмом, так и диффеоморфизмом.

Один из наиболее употребительных способов задания Т. м. состоит в использовании Хегора разбиений и тесно связанных с ними Хегора диаграмм. Суть этого способа состоит в том, что любое замкнутое ориентируемое Т. м. Мможно разбить на два подмногообразия с общим краем, каждое из к-рых гомеоморфно стандартному полному кренделю . нек-рого рода га. Другими словами, Т. м. Мможно получить склеиванием двух экземпляров полного кренделя Vпо нек-рому гомеоморфизму их краев. Этот факт позволяет сводить многие задачи топологии Т. м. к задачам топологии поверхностей. Минимальное возможное число га наз. р о-д о м Т. м. М. Другой полезный способ задания Т. м. основан на существовании тесной связи между Т. м. и зацеплениями в S³. Дело в том, что любое замкнутое ориентируемое Т. м. Мможно представить в виде где четырехмерное многообразие Wполучается из 4-шара В ⁴ приклейкой ручек индекса 2 по компонентам нек-рого оснащенного зацепления Lв Эквивалентно, Т. м. Мможно получить из сферы S³ сферич. перестройками. Дополнительно можно добиться, чтобы все компоненты зацепления L имели четные оснащения, и тогда многообразие Wполучается параллелизуемым. Часто используется представление Т. м. в виде пространств разветвленных накрытий сферы S³. Если L - зацепление в S³,то любое конечнолистное накрывающее пространство пространства можно компактифицировать несколькими окружностями и получить замкнутое Т. м. М. Естественная проекция локально гомео-морфная вне p^-1(L), наз. разветвленным накрытием сферы S³ с ветвлением вдоль зацепления L. Любое Т. м. рода 2 двулистно накрывает сферу с ветвлением вдоль нек-рого зацепления, тогда как в случае Т. м. произвольного рода можно гарантировать существование только трехлистного накрытия с ветвлением вдоль нек-рого узла. Это обстоятельство служит первопричиной того, что трехмерная гипотеза Пуанкаре и проблема алгоритмич. распознавания сферы решены пока (1984) только в классе Т. м. рода 2.

Основной задачей топологии Т. м. является задача их классификации. Т. м. Мназ. простым, если из следует, что ровно одно из многообразий М 1, М 2 является сферой. Каждое компактное Т. м. раскладывается в связную сумму конечного числа простых Т. м. Это разложение единственно в ориентируемом случае и единственно с точностью до замены прямого произведения на косое произведение в неориентируемом случае. Вместо понятия простого Т. м. часто бывает удобнее использовать понятие неприводимого Т. м., т. е. многообразия, в к-ром каждая 2-сфера ограничивает шар. Класс неприводимых Т. м. отличается от класса простых Т. м. ровно на три многообразия: . При этом многообразие S³ неприводимо, но обычно не считается простым, а многообразия и просты, но приводимы. Неприводимые Т. м. с краем изучены достаточно хорошо. Напр., любую гомотопич. эквивалентность пар где М, N - компактные ориентируемые и неприводимые Т. м. с краем, можно продеформировать в гомеоморфизм. В замкнутом случае для этого достаточно дополнительно потребовать, чтобы Т. м. M было достаточно большим, т. е. содержало нек-рую двустороннюю несжимаемую поверхность. При этом поверхность наз. несжимаемой, если индуцируемый вложением гомоморфизм группы в группу инъективен. Если первая группа гомологии компактного неприводимого Т. м. бесконечна, то такая поверхность всегда существует. Любое компактное ориентируемое неприводимое достаточно большое Т. м., фундаментальная группа к-рого содержит бесконечную циклическую нормальную подгруппу, является Зейферта многообразием.

Лит.:[1] Hempel J., 3-manifolds, Princeton, 1976; [2] Waldhallsеn F., лAnn. Math.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985