Математическая энциклопедия - треугольный элемент

-1) Т. э. алгебры End V эндоморфизмов конечномерного векторного пространства . над нолем k - элемент все собственные значения к-рого принадлежат k. Если kалгебраически замкнуто, то всякий элемент из End V треуголен. Для Т. э. X(и только для такого элемента) существует базис в V, относительно к-рого матрица эндоморфизма Xтреугольна (или, что то же, существует инвариантный относительно Xполный флаг в V).Для Т. э. имеется Жордана разложение над k. Существует ряд обобщений понятия Т. з. в End Vна случай бесконечномерного V (см. [2]).

2) Т. э. конечномерной алгебры Анад полем kтакой элемент что оператор правого (или левого, в зависимости от рассматриваемого случая) умножения на аявляется Т. э. в алгебре EndkA. Если Аизоморфна алгебре EndVдля нeк-рого конечномерного векторного пространства V над k, то эти два (формально различные) определения приводят к одному и тому же понятию.

В алгебрах Ли треугольность элемента означает треугольность эндоморфизма adx (где аd х (у)=[ х, у]). Множество всех Т. э. в алгебре Ли, вообще говоря, не замкнуто относительно операций сложения и коммутирования (напр., для простой алгебры Ли вещественных матриц порядка 2 со следом 0). Однако в случае разрешимой алгебры Аэто множество является даже характеристич. идеалом в А.

3) Т. э. в связной конечномерной группе Ли G - элемент для к-рого Adg является Т. э. в End (здесь присоединенное представление группы Ли Gв группе автоморфизмов ее алгебры Ли Если ,.экспоненциальное отображение, а Т. э. (в смысле пункта 2), то ехр (X) Т. э. в G. Обратное утверждение в общем случае неверно.

Алгебры Ли и группы Ли, все элементы к-рых треугольны, наз. треугольными алгебрами или группами соответственно, а также Ли вполне разрешимыми алгебрами и Ли вполне разрешимыми группами.

Лит.:[1] Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [2]Плоткин Б. И., Группы автоморфизмов алгебраических систем, М., 1966; [3] Постников М. М., Линейная алгебра и дифференциальная геометрия, М., 1979.

В. В. Горбацевич.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985