Математическая энциклопедия - упорядоченная группа

группа G, на к-poй задано отношение порядка такое, что для любых а, b, х, у из G неравенство влечет за собой Порядок, как правило, подразумевается линейным и в этом случае понятие У. г. совпадает с понятием линейно упорядоченной группы. Иногда порядком называют произвольный частичный порядок и, соответственно, упорядоченными группами произвольные частично упорядоченные группы.

Порядковым гомоморфизмoм (частично) У. г. Gв У. г. Нназ. гомоморфизм j группы Gв группу Нтакой, что в H. Ядрами порядковых гомоморфизмов являются нормальные выпуклые подгруппы и только они. Множество правых смежных классов линейно У. г. Gпо выпуклой подгруппе Нлинейно упорядочено, если считать тогда и только тогда, когда Если Н - выпуклая нормальная подгруппа линейно У. г. G, то это отношение порядка превращает факторгруппу G/H в линейно У. г.

Система выпуклых подгрупп линейно У. г. обладает свойствами: а) линейно упорядочена по включению и замкнута относительно пересечений н объединений; б) инфраинвариантна, т. е. для любой и любого верно . в) если А<В скачок в т. е. A, и между ними нет выпуклых подгрупп, то Анормальна в В, факторгруппа В/Аархимедова группа и где NG(B)нормализатор Вв G; г) все подгруппы из строго изолированны, т. е. для любого конечного набора х, gl, ... , gn из Gи любой подгруппы соотношение влечет за собой

Расширение GУ. г. H с помощью У. г. является У. г., если порядок H устойчив относительно внутренних автоморфизмов G. Расширение GУ. г. Нс помощью конечной группы является У. г., если Gбез кручения и ворядок в Нустойчив относительно внутренних автоморфизмов G.

Порядковый тип счетной У. г. имеет вид где порядковые типы множества целых и рациональных чисел соответственно, а произвольный счетный ординал. Всякая У. г. G является топологич. группой относительно интервальной топологии, в к-рой базой открытых множеств являются открытые интервалы

Выпуклые подгруппы У. г. открыты в этой топологии.

Лит.:Кокорин А. И., Копытов В. М., Линейно упорядоченные группы, М., 1972.

В. М. Копытов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985