Математическая энциклопедия - упорядоченное кольцо

частично упорядоченное кольцо,кольцо R(не обязательно ассоциативное), являющееся частично упорядоченной группой по сложению, в к-ром для любых a, b, неравенства и влекут за собой неравенства и Всякое кольцо является У. к. с тривиальным порядком. Примерами У. к. служат также упорядоченные поля;кольцо действительных функций на множестве X, где означает, что для всех кольцо матриц над У. к. R, где, по определению, если для всех i, j. Если Л У. к., то множество

наз. его положительным конусом. Положительный конус У. к. однозначно определяет его порядок: тогда и только тогда, когда Подмножество Ркольца Rслужит положительным конусом для нек-рого порядка в том и только в том случае, когда

Равенство равносильно линейности этого порядка.

У. к., являющееся линейно упорядоченным множеством или решеткой (структурой), наз. соответственно линейно упорядоченным или структурно упорядоченным (решеточно упорядоченным) кольцом (см. также Архимедово кольцо). Решеточно упорядоченное кольцо оказывается дистрибутивной решеткой, а его аддитивная группа не имеет кручения (ср. Структурно упорядоченная группа). Нек-рые вопросы теории ассоциативных колец и, в частности, теория радикалов имеют аналоги в ассоциативных структурно У. к. Класс колец, допускающих превращение в структурно У. к., не аксиоматизируем. Если а, b, с элементы структурно У. к. и то справедливы соотношения

Идеалы структурно У. к., являющиеся выпуклыми подгруппами аддитивной группы, наз. l-идеалами. Факторкольцо по l-идеалу естественным образом превращается в структурно У. к. Остается справедливой теорема о гомоморфизме.

Структурно У. к. Rназ. функциональным кольцом, или f-кольцом, если выполнено любое из следующих эквивалентных друг другу условий: (1) Rизоморфно структурно упорядоченному подкольцу прямого произведения линейно У. к.; (2) для любых справедлива импликация

(3) для любого подмножества множество является l-идеалом; (4) для любых

Условие (4) показывает, что f-кольца образуют многообразие сигнатуры Входящие в это условие равенства не вытекают одно из другого. Не всякое f-кольцо вложимо в f-кольцо с единицей. Если а, b, с элементы f-кольца и то справедливы соотношения

а также импликация Порядок У. к. R с положительным конусом Рможно продолжить до линейного так, что Rстановится линейно У. к. в том и только в том случае, когда для любого конечного множества a1, ... , an из R можно выбрать или -1 так, что в полукольце, порожденном конусом Ри элементами сумма любых двух ненулевых элементов отлична от нуля. При Р={0} получается критерий возможности превращения данного кольца в линейно упорядоченное.

Лит.:[1] Биркгоф Г., Теория решеток, пер. с англ., М., 1984; [2] Виноградов А. А., лМатем. заметки

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985