Математическая энциклопедия - упорядоченное поле

линейно упорядоченное кольцо, являющееся полем. Классич. пример поле действительных чисел с обычным порядком. Напротив, поле комплексных чисел не может быть превращено в У. п., поскольку поле допускает порядок, превращающий его в У. п., тогда и только тогда, когда -1 не представима в нем как сумма квадратов. Такие поля наз. формально действительными; они возникают, напр., если к какому-либо У. п. присоединить все квадратные корни из всех его положительных элементов.

Расширение РУ. п. kназ. упорядоченным, если Р - У. п., содержащее kв качестве упорядоченного подполя. Это имеет место в том и только в том случае, когда -1 не представима в виде суммы элементов вида где и У. п. наз. действительно замкнутым, если оно не обладает отличными от себя самого упорядоченными расширениями. Порядок действительно замкнутого поля единствен. Эквивалентны следующие свойства У. п. k:(1) kдействительно замкнуто; (2) расширение k(i), где i²=-1, алгебраически замкнуто; (3) каждый положит. элемент из kявляется квадратом ц каждый многочлен нечетной степени над kимеет корень в k. Каждое формально действительное поле обладает действительно замкнутым упорядоченным алгебраич. расширением.

Если k - У. п., то имеет смысл обычное определение фундаментальной последовательности (см. Действительное число). Совокупность фундаментальных последовательностей при надлежащем отождествлении и определении операций превращается в упорядоченное расширение поля k. Если kархимедово, то изоморфно У. п. действительных чисел.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, цер. с франц., М., 1965; [2] Ван дер Вардeн Б. Л., Алгебра, пер. с нем., 2 изд., М., 1979; [3] Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраические системы, пер. с англ., М., 1965.

Л. А. Скорняков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985