Математическая энциклопедия - упорядоченная полугруппа

полугруппа, наделенная структурой (частичного, вообще говоря) порядка стабильного относительно полугрупповой операции, т. е. для любых элементов а, b, с из следует и Если отношение на У. н. Sесть линейный порядок, то S наз. линейно упорядоченной полугруппой (л. у. п.). Если отношение на У. п. Sзадает решетку (с операциями объединения и пересечения причем выполняются тождества

то Sназ. решеточно упорядоченной полугруппой (р. у. п.); тем самым класс всех р. у. п., рассматриваемых как алгебры с полугрупповой и решеточными операциями, является многообразием. На р. у. п. тождества

вообще говоря, не выполняются, и их наложение выделяет собственное подмногообразие в многообразии всех р. у. п.

У. н. возникают при рассмотрении различных числовых полугрупп, полугрупп функций и бинарных отношений, полугрупп подмножеств (или подсистем различных алгебраич. систем, напр. идеалов колец и полугрупп) и т. п. Всякая У. п. изоморфна нек-рой полугруппе бинарных отношений, рассматриваемой как У. п., где отношение порядка теоретико-множественное включение. Классич. пример р. у. п.полугруппа всех бинарных отношений на произвольном множестве.

В общей теории У. п. выделяются два больших раздела: теория л. у. п. и теория р. у. п. Хотя всякая л. у. п. будет р. у. п., обе теории развиваются в значительной степени самостоятельно: исследования по л. у. п. посвящаются свойствам, большей частью не переносимым на произвольные р.-у. п., а при рассмотрении р. у. п. изучаются, как правило, свойства, приводящие применительно к л. у. п. к вырожденным случаям. Важнейшим типом У. п. являются упорядоченные группы;их теория представляет собой самостоятельный раздел алгебры. В отличие от упорядоченных групп, отношение порядка на произвольной У. п. S, вообще говоря, не определяется множеством ее положительных элементов (т. е. таких элементов а, что и для любого

Линейно упорядоченные полугруппы. Полугруппа Sназ. упорядочиваемой, если на ней может быть задан линейный порядок, превращающий S в л. у. п. Необходимым условием упорядочиваемости является отсутствие в полугруппе неидемпотентных элементов конечного порядка. Если в упорядочиваемой полугруппе множество всех идемпотентов не пусто, то оно подполугруппа. Среди упорядочиваемых полугрупп свободная полугруппа, свободная коммутативная полугруппа, свободная n-ступенно нильпотентная полугруппа.

Существует континуум способов упорядочения свободной полугруппы конечного ранга Найдены нек-рые необходимые и достаточные условия упорядочиваемости произвольной полугруппы, а также полугрупп из ряда известных классов (напр., полугрупп идемпотентов, инверсных полугрупп).

Полностью описано строение л. у. п. идемпотентов; в частности, в разложении такой полугруппы в полурешетку прямоугольных полугрупп (см. Идемпотентов полугруппа )прямоугольные компоненты сингулярны, а соответствующая полурешетка является деревом. Вполне простые л. у. п. исчерпываются правыми группами и левыми группами, являющимися лексикографич. произведением (см. Лексикографический порядок )линейно упорядоченной группы и л. у. п. правых (соответственно, левых) нулей. В терминах, использующих редукцию к линейно упорядоченным группам, получено описание л. у. п. в классе клиффордовых полугрупп, охарактеризованы также инверсные л. у. п. Классифицированы все тины л. у. п., порожденные двумя взаимно инверсными элементами (см. Регулярный элемент).

Условия, накладываемые на исследуемые л. у. п., часто постулируют дополнительные связи между операцией и отношением порядка. На этом пути выделены следующие основные типы л. у. п.: архимедовы полугруппы, естественно л. у. п. (см. Естественно упорядоченный группоид), положительно л. у. п. (в к-рых все элементы положительны), целые л. у. п. (в к-рых для любого х). Всякая архимедова естественно л. у. п. коммутативна, ее строение полностью описано. Строение произвольной л. у. п. в значительной мере определяется особенностями ее разбиения на архимедовы класса. Для периодич. л. у. п. это разбиение совпадает с разбиением на классы кручения, при этом каждый архимедов класс будет нильполугруппой. Произвольная линейно упорядоченная нильполугруппа является объединением возрастающей последовательности выпуклых нильпотентных подполугрупп; в частности, она локально нильпотентна.

Гомоморфизм л. у. п. наз. порядковым (или у-гомоморфизмом), если есть изотонное отображение Ав В. Конгруэнция на л. у. п. наз. у-конгруэнцией, если все ее классы выпуклые подмножества; у-конгруэнции и только они являются ядерными конгруэнциями у-гомоморфизмов. Разбиение л. у. н. Sна архимедовы классы не всегда определяет у-конгруэнцию, т. е. не всегда будет связкой (см. Связка полугрупп), но это так, напр., если Sпериодическая и ее идемпотенты коммутируют или если Sположительно л. у. п.

Для л. у. п. возникают дополнительные условия простоты (см. Простая полугруппа), связанные с отношением порядка. Одно из них отсутствие собственных выпуклых идеалов (выпукло идеально простые, или 0-простые, полугруппы); тривиальный пример таких л. у. п.линейно упорядоченные группы. Д. у. п. S с наименьшим s и наибольшим gэлементами (в частности, конечная) будет выпукло идеально простой тогда и только тогда, когда sи gодновременно левые или правые нули в S. Любая л. у. п. может быть вложена с сохранением порядка (у-изоморфно) в выпукло идеально простую л. у. п. Существуют л. у. п. с сокращением, невложимые в группу, но коммутативная л. у. п. с сокращением у-изоморфно вложима в абелеву линейно упорядоченную группу, причем существует единственная, с точностью до у-изоморфизма, такая группа частных. Л. у. п. тогда и только тогда у-изоморфно вложима в аддитивную группу действительных чисел, когда она удовлетворяет закону сокращения и не содержит аномальных пар (т. е. таких элементов а, b, что либо aⁿ<bⁿ+1, bⁿ<aⁿ+1 для всех n>0,либо aⁿ>bⁿ+1, bⁿ>aⁿ+l для всех n>0).

Решеточно упорядоченные полугруппы. Если для элементов а и b У. п. в ней существует наибольший элемент хс тем свойством, что то он наз. их правым частным и обозначается а: b;аналогично определяется левое частное а: b. Р. у. п. Sназ. р. у. п. с делением, если правое и левое частные существуют в Sдля любой пары элементов. Такой полугруппой является полная (как решетка) р. у. п., решеточный нуль к-рой является и мультипликативным нулем, и удовлетворяющая бесконечным дистрибутивным законам Важный пример р. у. п. с делением мультипликативная полугруппа идеалов ассоциативного кольца, и заметное направление в теории р. у. п. посвящено перенесению многих понятий и результатов теории идеалов ассоциативных колец на случай р. у. п. (однозначное разложение на простые множители, простой, примерный, максимальный, главный элементы р. у. п., и т. д.). Так, напр., известное отношение Аргина из теории коммутативных колец следующим образом переносится на р. у. п. с делением, обладающие единицей 1: пусть Если рассматриваемая р. у. п. Sкоммутативна, то отношение на ней есть конгруэнция; при этом факторполугруппа S/~ будет (решеточно упорядоченной) группой тогда и только тогда, когда Sцелозам кнута, т. е. а: а=1 для любого

Изучение р. у. п. связывается с группами при рассмотрении проблемы вложения р. у. п. в решеточно упорядоченные группы. Напр., любая р. у. п. с сокращением и условием Оре (см. Вложение полугруппы в группу), умножение в к-рой дистрибутивно относительно обеих решеточных операций, вложима в решеточно упорядоченную группу.

Начато исследование р. у. п. с точки зрения теории многообразий: описаны свободные р. у. п., найдены минимальные многообразия р. у. п. и т. д.

Лит.:[1] Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраические системы, пер. с англ., М., 1985; [2] Биркгоф Г., Теория решеток, пер. с англ., М., 1984; [3] Кокорин А. И., Копытов В. М., Линейно упорядоченные группы, М., 1972; [4] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1965, М., 1967, с. 116-20; [5] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1966, М., 1968, с. 99-102; [6] Satyanarayana M., Positively ordered semigroups, N. Y.Basel, 1979.

Л. Н. Шеврин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985