Математическая энциклопедия - условная сходимость

ряда свойство ряда, заключающееся в том, что существует сходящийся ряд, полученный из данного нек-рой перестановкой его членов. Числовой ряд

безусловно сходится, если он сходится, и сходится любой ряд, полученный перестановкой его членов, причем сумма любого такого ряда одна и та же, иначе говоря, сумма безусловно сходящегося ряда не зависит от порядка его членов. Если ряд (*) сходится, но не безусловно, то он наз. условно сходящимся. Для того чтобы ряд (*) условно сходился, необходимо и достаточно, чтобы он сходился, но не абсолютно, т. е. чтобы

Если члены ряда (*) являются действительными числами, через обозначены его неотрицательные члены, а через отрицательные, то ряд (*) будет условно сходиться тогда и только тогда, когда оба ряда расходятся (при этом порядок слагаемых в этих рядах безразличен).

Пусть ряд (*) с действительными членами сходится условно и тогда существует такой ряд полученный перестановкой членов ряда (*), что если обозначить через последовательность его частичных сумм, то

(это есть обобщение теоремы Римана).

Произведение условно сходящихся рядов зависит от порядка, в к-ром суммируются результаты почленного умножения членов данных рядов.

Понятие условной и безусловной сходимости ряда обобщается на ряды, члены к-рых являются элементами нек-рого нормированного векторного пространства X. Если X-конечномерное пространство, то аналогично случаю числовых рядов сходящийся ряд

п =1, 2, ..., условно сходится тогда и только тогда, когда ряд расходится. Если же пространство Xбесконечномерное, то в нем существуют безусловно сходящиеся ряды не являющиеся абсолютно сходящимися, т. е. такие, что для них

Л. Д. Кудрявцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985