Математическая энциклопедия - условная устойчивость

точки относительно семейства отображений

равностепенная непрерывность в этой точке семейства сужений отображений f ^t на нек-рое вложенное в Емногообразие V;здесь G⁺ - множество неотрицательных чисел: действительных или целых

У. у. точки относительно отображения определяется как ее У. у. относительно семейства неотрицательных степеней этого отображения. У. у. точки относительно динамич. системы f ^t есть У. у. этой точки относительно семейства отображений У. у. заданного на решения уравнения

есть У. у. точки x0(t0) относительно семейства отображений

У. у. заданного на решения дифференциального уравнения

есть У. у. точки х 0(t0) относительно семейства отображении где -Коши оператор этого уравнения. У. у. заданного на решения дифференциального уравнения

порядка mесть У. у. заданного на решения соответствующего дифференциального уравнения 1-го порядка вида (2), где

x= (x1, .... х т), f(x, t) = (x2,.....x т, g(x1, . . . , xm, t)).

Приведенные ниже определения 1-5 являются нек-рыми конкретизациями этих и родственных им определений.

1. Пусть дано дифференциальное уравнение (2), где Е - нормированное n-мерное пространство. Решение этого уравнения наз. условно устойчивым с индексoм если найдется вложенный в Е k -мерный диск D^k (рассматриваемый как многообразие нок-poгo класса С ^m),содержащий точку x0(t0 )и обладающий свойством: для всякого найдется такое, что для всякого удовлетворяющего неравенству решение того же уравнения, удовлетворяющее начальному условию x(t0)=-x, единственно, определено на и при всяком удовлетворяет неравенству Если диск D^k,имеющий указанные свойства, может быть выбран так, что (соответственно, здесь и далее считается, что для всякого решения того же уравнения, начинающегося в этом диске (т. е. такого, что то решение x0(t)наз. асимптотически (соответственно, экспонeнциально) условно устойчивым (с индексом k).

Решение уравнения (2) или наз. условно (асимптотически, экспоненциально условно) устойчивым с индексом k, если оно становится таковым в результате наделения пространства (или нек-рой нормой. От выбора нормы это свойство решения не зависит.

2. Пусть дано n-мерное риманово многообразие Vⁿ (расстояние в к-ром обозначается через Точка наз. условно устойчивой (с индексом относительно отображения если найдется вложенный (обычно гладко вложенный) в. Vⁿ k -мерный диск D^k, содержащий точку x0 и обладающий свойством: для всякого найдется такое, что для всякого удовлетворяющего неравенству имеет место неравенство для всякого Если диск D^k, имеющий указанные свойства, может быть выбран так, что

при (соответственно, для всякого то точка х 0 наз. асимптотически (соответственно, экспоненциально) условно устойчивой (с индексом k)относительно отображения f.

Пусть Vⁿ - компактное дифференцируемое многообразие. Точка наз. условно устойчивой (асимптотически, экспонeнциально условно устойчивой) с индексом kотносительно отображения если она становится таковой в результате наделения Vⁿ нек-рой римановой метрикой. От выбора римановой метрики на Vⁿ это свойство точки x0 не зависит.

3. Пусть дано дифференциальное уравнение (2) на римановом (или на финслеровом) n-мерном многообразии Vⁿ. расстояние в к-ром обозначается Решение этого уравнения наз. условно устойчивым (с индексом k), если найдется k-мерный диск D^k, вложенный в Vⁿ (рассматриваемый как многообразие нек-рого класса С ^т, обычно содержащий точку х 0(t0 )и обладающий свойством: для всякого найдется такое, что для всякого удовлетворяющего неравенству решение того же уравнения, удовлетворяющее начальному условию х(t0)=x, единственно, определено на я при всяком удовлетворяет неравенству Если диск D^k, имеющий указанные свойства, может быть выбран так, что

при (соответственно, для всякого решения этого же уравнения, начинающегося в этом диске (т. е. такого, что то решение наз. асимптотически (соответственно, экспоненциально) условно устойчивым (с индексом k).

4. Пусть Vⁿ есть n-мерное многообразие класса С ^т, U- открытое множество в нем. Пусть точка неподвижна при отображениях класса где Gесть или Неподвижная точка х 0 наз. условно устойчивой (с индексом k)относительно семейства отображений если найдется k-мерный диск D^k, гладко вложенной (вложение класса С ^т )в Vⁿ и такой, что для всякой окрестности точки х 0 найдется окрестность Wтой же точки такая, что при всяком Если диск D^k, имеющий указанные свойства, может быть выбран так, что для всякого то неподвижная точка x0 наз. асимптотически условно устойчивой (с индексом k)относительно семейства отображений

5. Условная (условная асимптотическая, условная экспоненциальная) устойчивость (с индексом k) решения уравнения произвольного порядка определяется как условная (условная асимптотическая, экспоненциальная) устойчивость (с индексом k) решения соответствующего уравнения 1 то порядка (2), где

Иногда (см., напр., [3]) в определении У. у. требуют, чтобы индекс k был отличен от нуля: У. у. с индексом нуль всегда имеет место. У. у. (условная асимптотическая, условная экспоненциальная устойчивость) с индексом n(размерность фазового пространства) есть то же, что устойчивость по Ляпунову (соответственно, асимптотическая, экспоненциальная).

Исследование положения равновесия на У. у. Пусть и окрестности точки задано автономное дифференциальное уравнение

правая часть к-рого непрерывно дифференцируема и в точке x0 обращается в нуль. Если в открытой левой комплексной полуплоскости лежат kсобственных значений производной dfxo,то неподвижная точка уравнения (3) экспоненциально условно устойчива с индексом k(теорема Ляпунова об условной устойчивости). Напр., верхнее положение равновесия уравнения колебаний маятника экспоненциально условно устойчиво с индексом 1, так как один из корней характеристического уравнения уравнения в вариациях отрицателен.

Неподвижная точка x0 дифференцируемого отображения экспоненциально условно устойчива с индексом kотносительно f, если kсобственных значений производной dfx0 лежат в открытом единичном круге. Периодич. точка x0 дифференцируемого отображения имеющая период т, условно (асимптотически условно, экспоненциально условно) устойчива с индексом kотносительно, f тогда и только тогда, когда она обладает этим свойством относительно отображения f ^т.

Периодич. решение автономного дифференциального уравнения (3) с гладкой правой частью f(x), имеющее период Т, (асимптотически, экспоненциально) условно устойчиво с индексом k в том и только в том случае, если его значение в точке t=0 (соответственно, асимптотически, экспоненциально) условно устойчиво с индексом k относительно отображения Х( Т,0), где оператор Коши уравнения (3).

Пример Перрона (см. Устойчивость по Ляпунову )показывает, что из отрицательности kпоказателей Ляпунова уравнения в вариациях вдоль решения уравнения (3) не следует У. у. с индексом kэтого решения. Однако имеют место следующие теоремы, показывающие, что ситуация, описываемая примером Перрона, нетипична.

1) Пусть S - множество всех диффеоморфизмов f евклидова пространства Е ⁿ, имеющих равномерно непрерывную производную, удовлетворяющую неравенству

Для всякого диффеоморфизма через Sj обозначается множество диффеоморфизмов удовлетворяющих неравенству

в множестве Sj задается расстояние

При всяком впространстве имеется всюду плотное множество Dj типа обладающее свойством: для всякого точка хусловно экспоненциально устойчива относительно диффеоморфизма f с индексом

т. е. с индексом, равным числу отрицательных Ляпунова характеристических показателей уравнения в вариациях.

2) Для динамич. систем, заданных на замкнутом дифференцируемом многообразии, аналогичная теорема формулируется проще и является дифференциально-топологически инвариантной. Пусть Г ⁿ -замкнутое дифференцируемое многообразие. Множество. Sвсех диффеоморфизмов f класса С ¹, отображающих Vⁿ на Vⁿ, наделяется С ¹ -топологией. В пространстве имеется всюду плотное множество Dтипа Gd, обладающее свойством: для всякого точка хусловно экспоненциально устойчива относительно диффеоморфизма f с индексом

3) Для всякого диффеоморфизма замкнутого дифференцируемого многообразия Vⁿ для всякого инвариантного относительно f распределения вероятностей на Vⁿ -алгебра к-рого содержит все борелевские множества) множество точек условно экспоненциально устойчивых с индексом (4) относительно диффеоморфизма f, имеет вероятность 1.

Лит.:[1] Ляпунов А. М., Собр. соч., т. 2, М.-Л., 1956; [2] Былов Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В., Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости, М., 1966; [3] Демидович Б. П., Лекции по математической теории устойчивости, М., 1967; [4] Изобов Н. А., в кн.: Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 12, М., 1974, с. 71-146; [5] Песин Я. Б., лУспехи матем. наук

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985