Математическая энциклопедия - условный экстремум

минимальное или максимальное значение, достигаемое данной функцией (или функционалом) при условии, что нек-рые другие функции (функционалы) принимают значения из заданного допустимого множества. Если условия, ограничивающие в указанном смысле область изменения независимых переменных (функций), отсутствуют, то говорят о безусловном экстремуме.

Классич. задачей на У. э. является задача определения минимума функции многих переменных

при условии, что нек-рые другие функции принимают заданные значения:

В этой задаче множество G, к-рому должны принадлежать значения вектор-функции g=(g1, ...,gm), входящей в дополнительные условия (2), есть фиксированная точка c=(c1, ..., с т )в m-мерном евклидовом пространстве

Если в (2) наряду со знаком равенства допускаются знаки неравенства

то это приводит к задаче нелинейного программирования(1), (3). В задаче (1), (3) множество Gдопустимых значений вектор-функции gпредставляет собой нек-рый криволинейный многогранник, принадлежащий (n-m1 )-мерной гиперповерхности, задаваемой т 1, m1<n, условиями типа равенства (3). Границы указанного криволинейного многогранника строятся с учетом п-m1 неравенств, входящих в (3).

Частным случаем задачи (1), (3) на У. в. является задача линейного программирования, в к-рой все рассматриваемые функции f и gi являются линейными по xl, ... , х п. В задаче линейного программирования множество Gдопустимых значений вектор-функции g, входящей в условия, ограничивающие область изменения переменных x1, .....xn, представляет собой выпуклый многогранник, принадлежащий (п-т 1 )-мерной гиперплоскости, задаваемой m1 условиями типа равенства в (3).

Аналогичным образом большинство задач оптимизации функционалов, представляющих нрактич. интерес, сводится к задачам на У. э. (см. Изопериметрическая задача, Кольца задача, Лагранжа задача, Манера задача). Так же, как и в математич. программировании, основными задачами вариационного исчисления и теории оптимального управления являются задачи на У. э.

При решении задач на У. э., особенно при рассмотрении теоретич. вопросов, связанных с задачами на У. э., весьма полезным оказывается использование неопределенных Лагранжа множителей, позволяющих свести задачу на У. э. к задаче на безусловный экстремум и упростить вывод необходимых условий оптимальности. Использование множителей Лагранжа лежит в основе большинства классич. методов решения задач на У. э.

Лит.:[1] Xедли Дж., Нелинейное и динамическое программирование, пер. с англ., М., 1967; [2] Блисс Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950; [3] Понтрягин Л. С. [и др.], Математическая теория оптимальных процессов, 2 изд., М., 1969.

И. Б. Вапнярский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985