Математическая энциклопедия - ветвящийся процесс с зависимостью от возраста

модель ветвящегося процесса, в к-ром время жизни частицы является произвольной неотрицательной случайной величиной, а число потомков частицы зависит от ее возраста в момент превращения. В модели с однотипными частицами каждая частица имеет случайную продолжительность жизни с функцией распределения

В конце жизни частица превращается в kчастиц нулевого возраста с вероятностью , если превращение произошло, когда частица достигла возраста и. Пусть число частиц в момент времени t. Производящая функция распределения вероятностей для процесса, начавшегося с одной частицы нулевого возраста, удовлетворяет уравнению

где

Положим

В. п. с з. от в. наз. докритическим, критическим или надкритическим, если соответственно Поведение процесса при существенно зависит от критичности процесса. Докритич. и критич. процессы вырождаются с вероятностью 1, т. е.

Для рассматриваемых процессов получены [1] асимптотич. формулы моментов , необходимые и достаточные условия вырождения, условия существования и единственности решения уравнения (*), асимптотич. формулы при для

и найдены предельные распределения. В критич. случае при :

В случае, когда не зависит от и, В. п. с з. отв. Беллмана Харриса процесс. Имеются обобщения описанной модели на процессы с несколькими типами частиц, а также на процессы с предположением, что частица может в течение жизни порождать новые частицы несколько раз (см. [2], [3]).

Лит.:[1] Севастьянов Б. А., Ветвящиеся процессы, М., 1971; [2] его же, "Теория вероят. и ее примен.", 1964, т. 9, № 4, с,. 577-94; [3] Mode С. J., Multitype Branching Processes, N. Y., 1971. В. П. Чистяков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985