Математическая энциклопедия - ветвления точка

минимальной поверхностиособая точка минимальной поверхности, в к-рой первая квадратичная форма поверхности обращается в нуль; тем самым фактически В. т. возможна лишь на обобщенной минимальной поверхности. Своим названием эта особая точка обязана тому факту, что в ее окрестности строение обобщенной минимальной поверхности подобно строению римановой поверхности функции над точкой , т. е. там обобщенная минимальная поверхность имеет мно-голистную ортогональную проекцию на нек-рую плоскую область, в к-рой проекция самой В. т. является внутренней точкой с единственным прообразом. В окрестности В. т. координаты минимальной поверхности представимы в виде

где две комплексные постоянные, и целые числа, соответственно называемые порядком и индексом В. т., ии v - внутренние изотермич. координаты.

На основании этого представления получена теорема: если числа взаимно простые, то минимальная поверхность имеет различных линий самопересечения, исходящих из В. т. с определенными направлениями, причем все соседние направления образуют между собой равные углы.

Различают два вида В. т.фальшивые В. т. и истинные (-нефальшивые). Фальшивые В. т. представляют собой особенность отображения, определяющего поверхность, и от нее можно избавиться перепараметризацией (напр., если регулярная минимальная поверхность, то обобщенная минимальная поверхность будет иметь в точке фальшивую В. т.). Истинная В. т. представляет собой реальную особенность самой поверхности, и у нее есть следующее важное свойство: в окрестности истинной В. т. поверхность можно изменить так, что новая поверхность, совпадая с исходной вне деформированной окрестности, будет иметь меньшую площадь по сравнению с исходной поверхностью. Теория обобщенных минимальных поверхностей с В. т. послужила основой для общей теории вложений с ветвлениями, развитой для широкого класса двумерных поверхностей в И. X Сабитов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985