Математическая энциклопедия - ветвящийся процесс с конечным числом типов частиц

модель ветвящегося процесса, являющаяся частным случаем марковского процесса со счетным множеством состояний. Состояние ветвящегося процесса описывается случайным вектором

k-я компонента к-рого показывает, что в момент tимеется частиц типа . Основное свойство, выделяющее ветвящиеся процессы из марковских, состоит в том, что частицы, существующие в момент , в любой следующий момент дают потомство независимо друг от друга. При этом производящие функции

удовлетворяют системе уравнений

и начальным условиям

Уравнениям (*) удовлетворяют процессы с дискретным и с непрерывным временем.

В случае дискретного времени матрица математич. ожиданий

является t- йстепенью матрицы

Если матрица Анеразложима и непериодична, то она имеет простое положительное характеристич. число , к-рое больше модулей остальных характеристич. чисел. В этом случае при

где правый и левый собственные векторы матрицы А, соответствующие . Ветвящиеся процессы с неразложимой матрицей Аназ. д о-критическими, если , надкритическим и, если , и критическими, если и хотя бы одна из функций нелинейна. Для процессов с непрерывным временем понятие критичности вводится аналогично.

Асимптотич. свойства ветвящегося процесса существенно зависят от критичности. Докритич. и критич. процессы вырождаются с вероятностью 1. Асимптотические при формулы для вероятности

и теоремы о предельных распределениях числа частиц [2] аналогичны соответствующим результатам для процессов с одним типом частиц (см. Ветвящийся процесс). Изучены асимптотич. свойства процессов, близких к критическим (см. [3]). Изучаются также процессы с разложимой матрицей математич. ожиданий (см. [4]).

Лит.:[1] Колмогоров А. Н., Дмитриев Н. А., "Докл. АН СССР", 1947, т. 56, № 1, с. 7-10; [2] Севастьянов Б. А., Ветвящиеся процессы, М., 1971; [3] Чистяков В. П., "Теории вероят. и ее примен.", 1972, т. 17, № 4, с. 669-78; [4] Оgurа 3.,"J. Math. Kyoto Univ.", ser. A, 1975, V. 15 № 2, p. 251-302. В. П. Чистяков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985